[ishebe]

Tengo la derivada de una función y necesito encontrar los puntos críticos, es decir, los valores de \( x \) que permiten que la derivada sea \( 0 \) la expresión es:

\( y^{\prime}=-386.4+45.92x-1.737x^2+0.020x^3 \)

y tiene como dominio\( \left [{16,\,36}\right ] \)

[ingmarov]

Hola

Usando Geogebra (Llamemosle "un método gráfico aproximado") La función derivada tiene un único cero (o raíz) aproximadamente en x=46.2145, y como esto no pertenece al dominio de la función, la función no tienes puntos críticos en ese dominio.

Saludos

Te comparto la imagen (gráfica de la derivada)

[mathtruco]

Complementemos la respuesta de ingmarov.

Forma 1: Estudiemos cuando la función \( g(x):=f'(x)=-386.4+45.92x-1.737x^2+0.020x^3 \) es cero.

    \( g'(x)=0.06*x^2-3.474*x+45.92 \)

la cual es una parábola que tiene raíces: \( x_1 =  20.420>16 \)  y  \( x_2 =  37.480>36 \). Además

    \( g \) es creciente en \( (-\infty,x_1) \) (porque \( g' \) es positiva en este intervalo), con \( g(x_1)=-2.7084<0 \), por lo que \( g<0 \) en \( (16,x_1) \).

A su vez,

        \( g \) es decreciente en \( (x_1,x_2) \) (porque \( g' \) es negativa en este intervalo), con \( x_2>36 \) y así \( g<0 \) en \( (x_1,36) \).

Luego \( g<0 \) en \( (16,36) \), y por tanto \( f' \) no tiene ceros en \( (16,36) \).

Forma 2:  Al igual que en polinomios de grado 2, las raíces de polinomios de tercer grado tienen una fórmula conocida, la que es tan larga que suele tratar de evitarse, pero si tienes una calculadora puedes calcularlas.