Hola, se puede demostrar que para polígonos semejantes de razón de semejanza k la razón de sus áreas es \( k^2 \)
Lo podemos ver calculando el área por triangulación.
Sea un polígono de \( n \) lados, se puede descomponer desde un vértice en \( n-2 \) triángulos, para dos polígonos semejantes, estos triángulos también lo son y sus lados y alturas proporcionales de razón \( k \).
Sea el área de un triángulo \( i \), \( A_i=\displaystyle\frac{b_i\cdot{}h_i}{2} \) , con \( b_i \) y \( h_i \) la base y altura del triángulo i-esimo.
Para el area del triángulo semejante tenemos \( A'_i=\displaystyle\frac{b'_i\cdot{}h'_i}{2} \) con \( b'_i=k\cdot{}b_i \) y \( h'_i=k\cdot{}h_i \), \( A'_i=k^2\displaystyle\frac{b_i\cdot{}h_i}{2}=k^2A_i \)
El área total del poligono \( AP=\displaystyle\sum_{i=1}^{n-2}{A_i} \)
El área total del polígono semejante.
\( AP'=\displaystyle\sum_{i=1}^n{A'_i}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n-2}{k^2A_i}=k^2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-2}{A_i}=k^2AP \)
Entonces \( \displaystyle\frac{AP'}{AP}=k^2=8 \)
Para el perímetro del semejante
\( Perim.'=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}k\cdot{}l_i=k\displaystyle\sum_{i=1}^n{}l_i=k\cdot{}Perim. \)
Por ello la razón de semejanza entre perímetros es \( K=\sqrt[ ]{8} \)
Saludos.
