[mazuro]

Hola a todos

1) Determinar el extremo del segmento que empieza a partir de \( (-4,5) \) y que tiene punto medio \( (1,-1) \).

Bueno empecé a resolverlo de la siguiente manera, pero no pude terminar...

Hallé la distancia entre  \( (-4,5) \)  y  \( (1,-1) \)  y es  \( \sqrt[ ]{61} \)   después lo siguiente:

\( \sqrt[ ]{(x-1)^{2}+(y+1)^{2}}=\sqrt[ ]{61} \)  y llegué a  \( x^{2}+y^{2}-2x+2y-59=0 \) y de ahí no pude más... así que opté por hacerlo en el plano cartesiano "contando unidades"   y  sería  \( (6,-7) \)  el otro extremo...

2) Este punto no sé cómo escribirlo ya que lo vi en una hoja y la perdí pero me pareció muy interesante y se trataba algo como: Encontrar la familia de cubos que se encuentra en tres puntos (por ejemplo, (-2,4), (1,1) (2,3))  estos valores los inventé, pero habían tres valores parecidos, sino que no me acuerdo...  Bueno era algo así el enunciado, quizás me puedan a ayudar cómo pudo haber sido el enunciado, y la verdad me interesa mucho, estuve buscando por internet pero no encuentro algo así...


Muchas gracias, como siempre.

[jbgg]

Hola,

para el primero te aconsejo que pienses que el punto medio entre un punto cualquiera \( (x,y) \) y el punto \( (-4,5) \) es \( \frac{1}{2}(x,y)+\frac{1}{2}(-4,5) \), de ahí puedes igualar al punto medio que te dan y deducir \( x \) e \( y \).

Para el segundo, entiendo que se refiere a que buscas todos los polinomios de tercer grado que pasan por dichos puntos. Entonces imaginate que buscas un polinomio que pases por los puntos \( (\alpha_1,\beta_1),(\alpha_2,\beta_2),(\alpha_3,\beta_3) \), con \( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \) diferentes. Entonces el único polinomio en la variable \( x \) (llamado polinomio interpolador de Lagrange) es
\( \displaystyle \beta_1\frac{(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)}{(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha3)}+\beta_2\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_3)}{(\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha3)}+\beta_3\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)}{(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha2)} \)

Pero este polinomio sería de segundo grado, si quieres añadir un término de tercer grado pero que no cambie los valores en los puntos deseados debería ser
\( \begin{array}{l}
\displaystyle \beta_1\frac{(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)}{(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha3)}+\beta_2\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_3)}{(\alpha_2-\alpha_1)(\alpha_2-\alpha3)}+\beta_3\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)}{(\alpha_3-\alpha_1)(\alpha_3-\alpha2)}\\
\displaystyle+\lambda(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha3)
\end{array} \)

donde la familia de polinomios está parametrizada por el parámetro \( \lambda\in\mathbb{R} \).

Espero que esto te sirva.

[mazuro]

Hola

Entiendo el primero, sería \( \displaystyle\frac{x-4}{2}=1 \)  y  \( \displaystyle\frac{y+5}{2}=-1 \) lo que da \( x=6 \)  y  \( y=-7 \)

Haré el segundo, utilizaré  los valores que escribí, a ver cómo queda.

Muchas gracias, saludos.

[mazuro]

Hola

Quedaría

\( p(x)=\displaystyle\frac{1}{3}(x-1)(x-2)-\displaystyle\frac{1}{3}(x+2)(x-2)+\displaystyle\frac{3}{4}(x+2)(x-1)+\lambda(x+2)(x-1)(x-2) \)

... y se termina de resolver...

Muchas gracias.

[jbgg]

Parece que está bien los cálculos, espero que te haya servido.

[mazuro]

Muchas gracias, claro que sí me sirvió, muchas gracias.