Tengo que determinar para estos dos conjuntos, si están acotados superiormente, inferiormente, presencia de ínfimo, supremo, máximo y mínimo.
A={números racionales entre 2 y -2}
B={números reales entre 2 y -2}
Para mí el comportamiento es el mismo para los dos, ¿o no?
Sí, el comportamiento es el mismo.
Y como se determinaría?
Usando las definiciones?:
DEFINICIÓN
"
El conjunto \( A\subseteq{\mathbb{R}} \)
se dice acotado superiormente (inferiormente) si posee cotas superiores (inferiores).
Si es ambos, se dice acotado (a secas)."
Del enunciado del problema se tiene \( -2<q<2 \), \( \forall{\;q\in{A}} \) y para el otro conjunto también se tiene
\( -2<x<2 \), \( \forall{\;x\in{B}} \). Es decir, tanto \( A \) como \( B \) son
acotados.
DEFINICIÓN
"\( S=\sup A\Leftrightarrow{\forall{q\in{A}}} \)
se tiene que \( S\geq{q} \)
y \( \forall{\epsilon>0} \)
existe \( r\in{\mathbb{A}} \)
tal que \( r>S-\epsilon \)"
Para el conjunto \( A \) es evidente que \( \forall{\;q\in{\mathbb{A}}} \) se tiene que \( 2>q\Rightarrow{2\geq{q}} \), intentaremos probar que \( 2 \)
es la menor de las cotas superiores, o sea, que \( \forall{\epsilon>0} \) existe \( r\in{A} \) tal que \( r>2-\epsilon \),
DEMOSTRACIÓN:
Por ser \( r\in{\mathbb{A}} \), si existe, para cada \( 2-\epsilon>0 \), se deberá cumplir \( 2-\epsilon<r<2 \), así que, usando que
TEOREMA:
"
Para cada \( \alpha\in{\mathbb{R}} \), existen sucesiones de números racionales monótonas (crecientes y decrecientes)
convergentes a \( \alpha \)".
por aquí hay algo sobre el tema que podría servir http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83239.msg333283#msg333283existirá \( r_n\uparrow{2} \), de tal forma que si \( n\geq{n_0} \) existirán infinitos términos de \( r_n \) todos ellos pertenecientes
al conjunto \( A \) que cumplan \( 2-\epsilon<r_n<2 \) sin que podamos afirmar que alguno de ellos sea cota de \( A \),
y mucho menos la menor de todas ellas.
c.q.d.DEFINICIÓN
"
Un elemento \( a \) de un conjunto \( A \) de números reales se llama máximo de \( A \), y se denota por
\( \max A \) si es cota superior de él, pertenece a él y es único".
De la determinación anterior del supremo de \( A \) se deduce claramente que no existe \( \max A \).
La determinación de \( \inf A \) y \( \min A \) son análogas.
Para el conjunto \( B \) no encuentro el apoyo que necesito. ¿Será el hecho de que también "para cualquier
número \( \alpha\in{\mathbb{R}} \) existen sucesiones de números
reales monótonas (crecientes y decrecientes) convergentes a
\( \alpha \)"?
Agradezco la ayuda. Saludos.
EDITO
Igual es de perogrullo, pero si una sucesión es una sucesión de números racionales, también es una sucesión de números reales. 
