[Androx]

Hola, tengo una duda respecto a lo siguiente:

La función es: \( y = -2x^2+bx+5 \). El máximo valor para la función cumple con x=2 y necesito encontrar el valor de b.

Yo la resolví de una manera pero me encontré con otro procedimiento que no me queda muy claro:

El procedimiento empieza convirtiendo \( y = -2x^2+bx+5 \) en \( y = -2(x-2)^2+k \) (donde K es una constante cualquiera), luego se resuelve y queda \( y = -2x^2+8x-8+k \) donde \( -8+k =5  \) y queda demonstrado que b=8.

Mi pregunta es cómo se llega a esto: \( y = -2(x-2)^2+k \)

[Juan Pablo Sancho]

Un método es usar derivadas y calcular su máximo o mínimo.

Otra es completar cuadrados ( que es lo que te piden):

\( { \displaystle y = -2 \cdot x^2 + b \cdot x  + 5 =  -  [2 \cdot x^2 - b \cdot x  - 5 ] = -2 \cdot  [x^2 - \frac{b}{2} \cdot x  - \frac{5}{2} ] = - 2 \cdot [(x- \frac{b}{4})^2  - (\frac{b}{4})^2 + \frac{5}{2}] } \)

El maximo valor es para \(  x = 2  \) que es lo mismo que \(  (x-\frac{b}{4})^2 = 0  \)

[Androx]

Un método es usar derivadas y calcular su máximo o mínimo.

Otra es completar cuadrados ( que es lo que te piden):

\( { \displaystle y = -2 \cdot x^2 + b \cdot x  + 5 =  -  [2 \cdot x^2 - b \cdot x  - 5 ] = -2 \cdot  [x^2 - \frac{b}{2} \cdot x  - \frac{5}{2} ] = - 2 \cdot [(x- \frac{b}{4})^2  - (\frac{b}{4})^2 + \frac{5}{2}] } \)

El maximo valor es para \(  x = 2  \) que es lo mismo que \(  (x-\frac{b}{4})^2 = 0  \)

Gracias por responder, entiendo todo el proceso de completar cuadrados, pero creo que aún no me queda claro...

Sobre esta parte: \(  (x-\frac{b}{4})^2 = 0  \) ¿Por qué equivale a 0? Y también me gustaría saber exactamente cómo se llega a esto: \( y = -2(x-2)^2+k \)

[Juan Pablo Sancho]

\(  {\red Editado }  \)

Si \(  (x- \frac{b}{4})^2 =0  \) entonces  \(  x - \frac{b}{4} = 0  \) pero el máximo  se da para \(  x  = 2  \)

[ingmarov]

...
Mi pregunta es cómo se llega a esto: \( y = -2(x-2)^2+k \)

Es que si revisas en wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_%28matem%C3%A1tica%29
en la parte de ecuaciones de la parábola

Verás

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es \( (u,v) \) tiene la forma \( (y - v) = a (x - u)^2 \)

El máximo o mínimo de una ecuación cuadrática está en el vértice, como ya te han dado la coordenada "x" del vértice, solo lo sustituyes en la anterior ecuación.