Hola.
Esta mañana se me ha ocurrido pensar en que si el producto cartesiano de dos conjuntos abiertos cualesquiera es abierto. He pensado en ejemplos referentes a \( \mathbb{R} \) y he encontrado que es cierto (para esos ejemplos). ¿Existe algún resultado en este aspecto?
Es decir, existe alguna proposición del tipo:
Si \( D \subset \mathbb{R}^n \) y \( U \subset \mathbb{R}^m \) son abiertos, entonces \( D \times U \subset \mathbb{R}^{m+n} \) es abierto.
Y de manera más general, existe algún resultado en el sentido de
Si \( D \subset \mathbb{K} \) y \( S \subset \mathbb{E} \) son conjuntos abiertos entonces \( D \times S \subset X \) con dim\( (X) \) = dim\( (\mathbb{K}) + \) dim\( (\mathbb{E}) \)
Este último resultado no sé si ni siquiera tiene sentido, me suena a que tengo que definir una topología o algo así (no tengo ni idea de topología así que doy palos de ciego) puesto que tal como está me parece que le falta 'algo'.
En caso de que exista algo relacionado con el tema, me gustaría que me dijerais dónde podría encontrar una demostración del resultado (siempre y cuando no tenga que ver con topología pues, como dije, mi conocimiento de topología es similar al conocimiento que tengo de botánica; sé que existe y está ahí, y ya. Es una pena que en físicas no se dé nada apenas de topología).
