Autor Tema: Función lineal biyectiva.

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18 Junio, 2015, 10:04 am
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Samir M.

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Enunciado.

Demostrar que una función lineal \( f:\mathbb{E}^3 \to \mathbb{E}^3 \) es biyectiva si, y sólo si las imagénes de una base son linealmente independientes.


   ____

Demostración.

\( \Leftarrow{)} \)

Supongamos que las imagénes de una base son linealmente independientes (L.I), así: sea \( ({\bf{e}}_1,{\bf{e}}_2, {\bf{e}}_3) \) una base y \( {\bf{f}} \) una función lineal de \( \mathbb{E}^3 \) en \( \mathbb{E}^3 \) tal que \( {\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3) \) son L.I. Entonces  \( {\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3) \)también es una base y cualquier vector \( {\bf{v}} \) puede escribirse como \( {\bf{v}}=v_1{\bf{f}}({\bf{e}}_1) +v_2 {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + v_3 {\bf{f}}({\bf{e}}_3) \).

Definamos ahora \( {\bf{u}}=v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3 \). Entonces

\( {\bf{f}}({\bf{u}}) = {\bf{f}}(v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3) = v_1{\bf{f}}({\bf{e}}_1) +v_2 {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + v_3 {\bf{f}}({\bf{e}}_3) = {\bf{v}}  \)

luego \( {\bf{f}} \) es sobreyectiva respecto de \( \mathbb{E}^3 \). Supongamos, ahora, que \( {\bf{f}}({\bf{a}}) = {\bf{f}}({\bf{a}}') \). Entonces

\( \begin{align*} {\bf{0}}&= {\bf{f}}({\bf{a}}') - {\bf{f}}({\bf{a}}) = {\bf{f}}({\bf{a}}' - {\bf{a}}) = {\bf{f}}((a_1'-a_1){\bf{e}}_1 + (a_2' - a_2){\bf{e}}_2 + (a_3'-a_3){\bf{e}}_3) \\ &= (a_1'-a_1){\bf{f}}({\bf{e}}_1) +(a_2'-a_2) {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + (a_3'-a_3) {\bf{f}}({\bf{e}}_3)\end{align*}
 \)

y, como \( {\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3) \) son L.I, se deduce que \( (a_1'-a_1) = 0, \, (a_2'-a_2) = 0, \, (a_3'-a_3) = 0 \), de manera que \( {\bf{a'}} = {\bf{a}} \) y así \( {\bf{f}} \) es inyectiva. Por tanto \( {\bf{f}} \) es biyectiva.

\( \Rightarrow{)} \)

Recíprocamente, si \( {\bf{f}} \) es inyectiva, entonces \( {\bf{f}}({\bf{e}}_1), {\bf{f}}({\bf{e}}_2), {\bf{f}}({\bf{e}}_3) \) deben ser independientes, pues si no lo son, existirían valores \( v_1,v_2,v_3 \) no todos nulos y con ellos un \( {\bf{v}} =v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3 \neq \bf{0}  \), tales que


\( {\bf{0}} = v_1{\bf{f}}({\bf{e}}_1) +v_2 {\bf{f}}({\bf{e}}_2) + v_3 {\bf{f}}({\bf{e}}_3) = {\bf{f}}(v_1{\bf{e}}_1 +v_2{\bf{e}}_2 + v_3{\bf{e}}_3) = {\bf{f}}({\bf{v}})   \)

pero, por ser \( {\bf{f}} \) lineal también se tiene que \( {\bf{f}}({\bf{0}}) = {\bf{0}} \) lo cual resulta absurdo pues hemos supuesto que \( {\bf{f}} \) es inyectiva.

\( \square \)                       
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

18 Junio, 2015, 11:27 am
Respuesta #1

Samir M.

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Comentario:

Un resultado interesante que se puede demostrar similarmente al ejercicio anterior, es el siguiente:

Una aplicación lineal \( {\bf{f}} \) de \( \mathbb{E}^2 \) sobre \( \mathbb{E}^3 \) es biyectiva respecto de un plano de \( \mathbb{E}^3 \) si, y sólo si el rango de \( {\bf{f}} \) es 2.

Este resultado es interesante debido a que, si el orden de la diferencial \( d{\bf{f}} \) como función lineal en \( d{\bf{x}} \) es 2, es decir, si el rango de la matriz jacobiana \( (\partial f_i / \partial x_j) \) en \( {\bf{x}}_0 \) es 2, se concluye en virtud del resultado anterior que \( d{\bf{f}}({\bf{x}}_0) \) es una aplicación biyectiva de los vectores \( d{\bf{x}} \) pertenecientes a \( \mathbb{E}^2 \) sobre un plano. De hecho, así podemos definir el plano tangente de una función \( {\bf{y}}={\bf{f}}({\bf{x}}) \) a \( {\bf{y}}_0 \) como el plano que pasa por un punto \( {\bf{y}}_0 \in \mathbb{E}^3 \) y que es paralelo a los vectores \( d{\bf{f}}({\bf{x}}_0) \). La ecuación de este plano tangente, es, obviamente, \( {\bf{y}} ={\bf{y}}_0 + d{\bf{f}}({\bf{x}}_0)  \). Esto es la base para la definición de una superficie suave o una representación paramétrica regular de una superficie, y es muy útil recordarlo para entender bien la geometría diferencial.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.