[andoporto]

Hola tengo la siguiente ecuación para resolver, sé que me da X=7 pero nunca llego  ese resultado, se me termina alargando la ecuación y no llego a ningún lado.

\(   \displaystyle\binom{X}{4}+ \displaystyle\binom{X}{2 } + 2\displaystyle\binom{X}{3} = \displaystyle\binom{X+2}{5} \) enunciado

\( \displaystyle \frac{X!}{4!(X-4)!} + \frac{X}{2!(X-2)!} +2\frac{X}{3} = \frac{X+2}{5} \)

desarrollando los dos primeros términos

\( \displaystyle\frac{X(X-1)(X-)(X-3)(X-4)!}{4!(X-4)!}+ \frac{X(X-1)(X-2)!}{2!(X-2)} \)

aunque simplifico el \( (X-4)! \) y el \( (X-2)! \) no encuentro la solución.

[aladan]

Spoiler

Hola tengo la siguiente ecuación para resolver, sé que me da X=7 pero nunca llego  ese resultado, se me termina alargando la ecuación y no llego a ningún lado.

\(   \displaystyle\binom{X}{4} \displaystyle\binom{X}{2 } + 2\displaystyle\binom{X}{3} = \displaystyle\binom{X+2}{5} \) enunciado

\(  \frac{X!}{4!(X-4)!} + \frac{X}{2!(X-2)!} +2\frac{X}{3} = \frac{X+2}{5} \)
desarrolando los dos primeros términos
\( \frac{X(X-1)(X-)(X-3)(X-4)!}{4!(X-4)!}+ \frac{X(X-1)(X-2)!}{2!(X-2)} \)

aunque simplifico el \( (X-4)! \) y el \( (X-2)! \) no encuentro la solución

[cerrar]

Hola andoporto

Para intentar ayudarte, sugiero revises el enunciado, no sé si es este

               \(   \displaystyle\binom{X}{4} \displaystyle\binom{X}{2 } + 2\displaystyle\binom{X}{3} = \displaystyle\binom{X+2}{5} \)
 
o este

  \(   \displaystyle\binom{X}{4}+ \displaystyle\binom{X}{2 } + 2\displaystyle\binom{X}{3} = \displaystyle\binom{X+2}{5} \)

Saludos

[andoporto]

es el de la suma

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta que:

\(  \displaystyle\binom{x}{4}=\dfrac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4!} \)

\(  \displaystyle\binom{x}{2}=\dfrac{x(x-1)}{2!} \)

\(  \displaystyle\binom{x}{3}=\dfrac{x(x-1)(x-2)}{3!} \)

\(  \displaystyle\binom{x+2}{5}=\dfrac{(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)}{5!} \)

 Luego divide la ecuación por \( x(x-1) \) y llegarás a una ecuación de tercer grado.

Saludos.

[Abdulai]

Podés usar propiedades de los números combinatorios

\( \displaystyle\binom{X}{4}+\displaystyle\binom{X}{2 }+2\displaystyle\binom{X}{3} = \underbrace{\underbrace{\displaystyle\binom{X}{2}+\displaystyle\binom{X}{3}}_{\displaystyle\binom{X+1}{3}} + \underbrace{\displaystyle\binom{X}{3}+\displaystyle\binom{X}{4}}_{\displaystyle\binom{X+1}{4}} }_{\displaystyle\binom{X+2}{4}} \)

Siendo  \( \displaystyle\binom{X+2}{4} = \dfrac{(X+2)!}{4!(X-2)!} \)   

y   \( \displaystyle\binom{X+2}{5} = \dfrac{(X+2)!}{5!(X-3)!} \)


Queda     \( \dfrac{\cancel{(X+2)!}}{4!(X-2)!} = \dfrac{\cancel{(X+2)!}}{5!(X-3)!} \;\;\longrightarrow\;\; X-2 = 5 \)

[andoporto]

muchas gracias