[JGilberto]

Hola amigos del foro quisiera compartir algo.

El día de ayer pensaba en la soluciones enteras de esta ecuación \( x!+1=y^2 \).
Haciendo \( \displaystyle\frac{x!}{y-1}=y+1 \) para \( x!=(y-1)! \) llegué a \( (y-2)!-1=y \) que también se puede expresar como \( (y-2)!\equiv{1} \pmod y \).
Con esta expresión supongo que solo se cumple si "y" es primo.
Aunque no sé demostrarla, quisiera saber si alguien puede hacerlo, o bien puede dar un contraejemplo.

Quiero hacer notar que solo soy un aficionado y les ruego me perdonen si he hecho algo mal.
Muchas gracias.

[elcristo]

Hola.

Si no me equivoco, eso es una consecuencia del Teorema de Wilson. El teorema dice así:
Para cada entero \( n>1,\ (n-1)!\equiv{}n-1 \ mod(n) \Longleftrightarrow{} \) n es primo.

Y como consecuencia, se obtiene:

Para cada primo \( p \) se tiene que \( (p-2)!\equiv{}1 mod(p) \)

Dem:

Sea \( p \) primo. Por el teorema de Wilson, tenemos \( (p-1)!\equiv{}p-1\ mod(p) \).
\( (p-1)!=(p-2)!(p-1)\Longrightarrow{}(p-1)[(p-2)!-1]=0\ mod(p) \)
\(  \Longrightarrow{} (p-2)!-1=0\ mod(p) \Longrightarrow{}(p-2)!=1 \mod(p) \)

Nota:
Revisando mis apuntes me acabo de dar cuenta que no sé en qué parte se utiliza el teorema de Wilson en esta demostración, pero yo lo tengo junto y como si se concluyese de él. En fin, esto es lo que tengo y yo veo bien la demostración.

Saludos.

[Héctor Manuel]

Revisando mis apuntes me acabo de dar cuenta que no sé en qué parte se utiliza el teorema de Wilson en esta demostración,

Pero si lo usaste en el primer paso!! Además, la demostración es correcta (es decir, para \( p \) primo, se tiene \( (p-2)!\equiv 1(\mathrm{mod}p) \)), y el recíproco es también cierto (lo que significa que esa congruencia equivale a la primalidad de \( p \)).

Saludos.

[Héctor Manuel]

En cuanto a la ecuación inicial, veamos que \( x!+1=y^2 \) solo para \( (x,y)=(0,1) \).

Es fácil verificar que (0,1) satisface la ecuación. Supongamos \( x>0 \). Si \( x=1 \), no existe \( y \). Si \( x>1 \), entonces \( x!=(y-1)(y+1) \). Luego, \( y-1|x! \) y \( y+1|x! \). Por lo tanto \( y-1<x! \) y \( y+1<x! \). Nótese  que \( y-1\ge 1 \). De esta manera \( x!=1\cdot 2\cdot\dots\cdot(y-1)y(y+1)\cdot\dots\cdot x=(y-1)(y+1) \), de donde \( 1\cdot 2\cdot\dots\cdot x=1 \), donde el lado izquierdo no contiene como factores a \( (y-1) \) ni a \( y+1 \).

Pero el producto del lado izquierdo es mayor a 1 (ya que \( x>1 \)). Esta contradicción muestra que no puede ser \( x>1 \), lo cual concluye la prueba.

Saludos

[elcristo]

Revisando mis apuntes me acabo de dar cuenta que no sé en qué parte se utiliza el teorema de Wilson en esta demostración,

Pero si lo usaste en el primer paso!! Además, la demostración es correcta (es decir, para \( p \) primo, se tiene \( (p-2)!\equiv 1(\mathrm{mod}p) \)), y el recíproco es también cierto (lo que significa que esa congruencia equivale a la primalidad de \( p \)).

Saludos.

Si, tengo una frase que dice "Por el teorema de Wilson, tenemos esto" pero luego lo único que hago es expresar \( (p-1)! \) como \( (p-2)!(p-1) \), pasarlo restando, sacar factor común y como \( (p-1)\neq{}0 \) \( (p-2)!-1=0 \) luego \( (p-2)=1 \) (todo módulo p). Pero si quitase esa primera frase la demostración no cambia ni un ápice (o eso es lo que veo).

Saludos.

[Héctor Manuel]

Si, tengo una frase que dice "Por el teorema de Wilson, tenemos esto" pero luego lo único que hago es expresar \( (p-1)! \) como \( (p-2)!(p-1) \), pasarlo restando, sacar factor común y como \( (p-1)\neq{}0 \) \( (p-2)!-1=0 \) luego \( (p-2)=1 \) (todo módulo p). Pero si quitase esa primera frase la demostración no cambia ni un ápice (o eso es lo que veo).

Saludos.

No. Si quitas esa frase, y haces como dices "pasarlo restando"... a dónde lo pasas restando? Si quitas esa frase, ni siquiera tienes una congruencia.

[elcristo]

Pero tenemos:
\( (p-1)! = (p-2)!(p-1) \Rightarrow{} (p-1) \equiv{} (p-2)!(p-1)\Rightarrow{} \) Ya vi, se usa en este paso. \( (p-1)-(p-2)!(p-1)=\equiv{}0\Rightarrow{}(p-1)[1-(p-2)!]\equiv{}0\Rightarrow{}(p-2)!\equiv{}1 \)

Pues ya lo vi,gracias.

Saludos.