[FilippoLapi]

Hola, necesito ayuda para resolver el problema de encajar un rectángulo en un trapecio rectángulo, para ello cuento con los datos de :
El perímetro del trapecio y el ancho del rectángulo.



Desde ya muchas gracias por cualquier ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

 Observa el dibujo.



 Los datos son:

\(  AC=p,\quad AB=h,\quad BD=q,\quad HG=a \)

 Para encajar el rectángulo basta conocer \( AG=x \). Llamaré también \( y=HA \).

 Ahora del triángulo rectángulo \( AGH \) es claro que:

 \( x^2+y^2=a^2 \) (*)

 Por otra parte los triángulos \( CIE \) y \( CJD \) son semejantes y por tanto:

\(  \dfrac{CI}{EI}=\dfrac{CJ}{JD} \)  (**)

 donde:

\(  CJ=p-q \)
\(  JD=h \)
\(  CI=p-AH-HI=p-y-FB \)
\(  EI=GB=h-x \)

 y dado que el triángulo \( HAG \) es semejante a \( GBF \) se tiene que:
 
\(  \dfrac{x}{y}=\dfrac{FB}{h-x} \)

 de donde:

\(  FB=\dfrac{x(h-x)}{y}  \)

 En definitiva sustiyuendo en (*) y junto con (**) tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

\(  \dfrac{p-q}{\color{red}h\color{black}}=\dfrac{p-y-\dfrac{x(h-x)}{y}}{h-x} \)

\( x^2+y^2=a^2 \)

 De ahí pueden hacerse cuentas y despejar x en función de p,q,h,a. Pero he probado con el ordenador y sale una expresión absolutamente horripilante; no sé si operando con criterio (el ordenador no es inteligente) puede simplicarse o si hay otra forma de plantear el problema que lleve a una expresión más simple.

 He probado para valores concretos y funciona. Por ejemplo en el dibujo con:

\(  p=5,\quad q=3,\quad h=4,\quad a=2 \)

 se obtiene:

\(  x=1.0547 \)
\(  y=1.6993 \)

Saludos.

CORREGIDO

[FilippoLapi]

el_manco, Muchisimas gracias por tan pronta respuesta.

Puedo pedirte otro favor, podrias mostarme la ecuacion en la que despejas x, lo he intentado con un par de programas de resolucion de ecuaciones y no me las resuelve (son programas gratuitos y seguramente limitados).

[FilippoLapi]

Hola, si alguien puede ayudarme, necesito resolver estas dos ecuaciones para obtener X e Y...

\( \displaystyle\frac{p-y-\frac{x*(h-x)}{y}}{h-x}=\frac{p-q}{h} \)


\( x^2+y^2=a^2 \)


Desde ya muchas gracias por la ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, si alguien puede ayudarme, necesito resolver estas dos ecuaciones para obtener X e Y...

\( \displaystyle\frac{p-y-\frac{x*(h-x)}{y}}{h-x}=\frac{p-q}{h} \)


\( x^2+y^2=a^2 \)


Desde ya muchas gracias por la ayuda.

Por favor, no habrás nuevos hilos para pedir aclaraciones sobre una pregunta que hiciste en otro mensaje. Continúa el mismo hilo indicando tus dudas.

En este caso he movido tu nuevo hilo al previo que habías abierto.

La ecuación que escribí tenía una errata (ya le he corregido).

Saludos.

[FilippoLapi]

Te pido disculpas, pensé que como lo que ahora necesitaba era la resolución de un problema de algebra, el tema debería ir en el foro correspondiente.
Te ruego, si lo tienes, la ecuación donde despejas X o Y, lo he intentado, pero mis conocimientos matemáticos no llegan a tanto.

[Luis Fuentes]

Hola

Te pido disculpas, pensé que como lo que ahora necesitaba era la resolución de un problema de algebra, el tema debería ir en el foro correspondiente.
Te ruego, si lo tienes, la ecuación donde despejas X o Y, lo he intentado, pero mis conocimientos matemáticos no llegan a tanto.

¿Para qué necesitas exactamente todo esto?

Verás es que el "problema" es que el monstruo que me sale al resolver la ecuación (hecho por ordenador) es:

Spoiler

[cerrar]

Trabajándola con cuidado debería de poder simplifcarse un poco; en realidad el sistema que se resuelve es la intersección de dos cónicas.

Por eso me interesa saber tu objetivo para ver en que medida puede valer la pena el esfuerzo. 

Saludos.

[FilippoLapi]

Hola,
la finalidad de conocer como "armar" ese rectángulo dentro del trapecio, es que ese rectángulo vendría a ser una barra inclinada dentro de una estructura del tipo cabriada (te adjunto un dibujo).

Conociendo como obtener X e Y, puedo desarrollar un programa en Autolisp para Autocad, que me permita automatizar ese proceso que hoy hago a "mano" y me dé una precisión absoluta.

Viendo ahora el desarrollo de la ecuación, entiendo a lo que te refieres por "horripilante". Si se pudiera simplificar un poco seria estupendo, sino, habrá que armarse de paciencia e introducir esa ecuación con cuidado, lo importante es que el resultado sea exacto.

Te agradezco muchísimo tu dedicación y preocupación.

p/d: con que programa desarrollaste la formula...

[Luis Fuentes]

Hola

Viendo ahora el desarrollo de la ecuación, entiendo a lo que te refieres por "horripilante". Si se pudiera simplificar un poco seria estupendo, sino, habrá que armarse de paciencia e introducir esa ecuación con cuidado, lo importante es que el resultado sea exacto.

Te propongo ahora algo más ligero.

Primero define la función:

sol[e_, d_, c_, b_, a_] := -b/(4 a) -
  1/2 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) +
     2^(1/3) (c^2 - 3 b d +
         12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e -
            72 a c e +
            Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d +
                 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) +
     1/(3 2^(1/3) a) (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e -
         72 a c e +
         Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d +
              27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)] +
  1/2 Sqrt[b^2/(2 a^2) - 4 c/(3 a) -
     2^(1/3) (c^2 - 3 b d +
         12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e -
            72 a c e +
            Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d +
                 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) -
     1/(3 2^(1/3) a) (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e -
         72 a c e +
         Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d +
              27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3) - (-b^3/a^3 +
        4 b c/a^2 -
        8 d/a)/(4 Sqrt[
         b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) +
          2^(1/3) (c^2 - 3 b d +
              12 a e)/(3 a ((2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e -
                  72 a c e +
                  Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 -
                    9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2]))^(1/
                 3)) + 1/(3 2^(1/3) a) (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 +
              27 b^2 e - 72 a c e +
              Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d +
                   27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)])]

Si lo prefires es la segunda de las que vienen en este enlace:

http://www.josechu.com/ecuaciones_polinomicas/cuartica_solucion_es.htm

Luego el valor de \( y \) para tu problema con datos \( p,q,h,A \) (ojo \( A \) mayúscula para diferenciarla de la variable a de la función anterior), viene dado por la función:

y[A_,p_,q_,h_]=sol[A^4 h^2 - A^2 h^4, 2 A^2 h^2 p, -4 A^2 h^2 + h^4 - A^2 p^2 +
 2 A^2 p q - A^2 q^2 + h^2 q^2, -2 h^2 p - 2 h^2 q,
4 h^2 + p^2 - 2 p q + q^2]

(nota que en las fórmulas no están colocados los signos por; se supone que entre dos letras consecutivas o un número y una letra lo que se hace es multiplicar; el Mathematica, que es donde hice todo esto admite ese convenio; en otro lenguaje probablemente tengas que molestarte en meter a mano los signos de multiplicar.

Saludos.

[FilippoLapi]

Retiro lo escrito ya que he podido pasar a las ecuaciones a codigo y funciona.

Me podrias ayudar ahora con este otro problema, es similar al enunciado del principio:



Gracias.

Creo que lo he resuelto:

     \( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x (h - x)}{y} + y - q}{h - x}= \displaystyle\frac{p - q}{h} \)