[Smagh]

Buenas a todos.
Se me plantea el siguiente problema: Hallar la ecuación de las rectas \( L_1 \) y \( L_2 \) que se cruzan en el punto (2,-8) y son tangentes a la circunferencia \( x^2+Y^2=34 \).

Con tan solo ver su fórmula, ya se que la circunferencia tiene centro en el origen y que su radio es \( sqrt(34) \).

Ahora, para calcular las ecuaciones de ambas rectas pretendo usar la fórmula punto pendiente. Como estas rectas se cruzan y al mismo tiempo son tangentes a la circunferencia, inmediatamente supongo que son perpendiculares entre sí, por lo cual el producto de sus pendientes será -1. Pero la verdad ya no sé como proceder. Supongo que tengo que calcular cual es la pendiente de las rectas, pero no sé como hacerlo. Para ello supongo que necesito saber otro punto. Si alguien puede aclarar mi duda lo agradecería mucho!

[ingmarov]

Hola

Si haces un dibujo de la circunferencia centrada en el origen "O" dada y el punto "A" dado. Supongamos que B es el punto de la circunferencia donde la recta que pasa por A es tangente. Las rectas OB y OA serán perpendiculares (OB es el radio). Entonces puedes construira el triángulo rectángulo AOB (recto en B). Y el cateto AB lo puedes encontrar usando Pitágoras.

Luego de calcular AB, puedes plantear la ecuación de circunfernecia centrada en (2,-8)

\( (x-2)^2+(y+8)^2=(AB)^2 \)

Entonces la intersección de esta última con la circunferencia dada serán los puntos de tangencia.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Otra forma de verlo.

 Las rectas que pasan por \( (2,-8) \) y de pendiente \( m \) tienen por ecuación:

\( y+8=m(x-2) \)

 Para que sean tangentes a la circunferencia dada la ecuación de segundo grado que resulta de intersecar esta recta con la ecuación de la circunferencia debe de tenern una solución doble, es decir, su discriminante ha de ser nulo.

Saludos.

[aladan]

Hola

Otra forma de resolverlo.
Hallando los puntos de tangencia de las tangentes pedidas  como las intersecciones de dos circunferencias:

Una, la dada   
                                               \( x^2+y^2=34 \)

La otra centrada en el punto medio del segmento OA, siendo O(0,0) y A(2,-8) de diámetro OA, esta

                                         \( (x-1)^2+(y+4)^2=17 \)

Un comentario sobre esto

Como estas rectas se cruzan y al mismo tiempo son tangentes a la circunferencia, inmediatamente supongo que son perpendiculares entre sí,

[/color]

Curiosamente las dos rectas solución de este problema son perpendiculares pero es pura coincidencia por los datos del enunciado, en general dos rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior no son perpendiculares

Saludos