Bueno, me voy a autoresponder lo que preguntaba para que si a alguien le sirve que lo use...
Hoy fui a la facultad y me saque la duda de como se resuelve esto...
demostrar que si se tiene un conjunto de n elementos, el numero de relaciones de equivalencia sobre ese conjunto es:
\( R_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{S(n,i)} \) donde S(n,i) es el numero de Stirilng de 2da especie...
Ahora la explicación de eso: si tenemos una relación de equivalencia y consideramos las clases de equivalencia, el conjunto de esas clases forman una partición del conjunto inicial, pues son todas disjuntas y la union nos da el conjunto, por lo tanto, contar la cantidad de particiones posibles sobre el conjunto, es lo mismo que contar la cantidad de clases, que es lo mismo que contar la cantidad de relaciones de equivalencia
Ahora contamos la cantidad de particiones posibles...
Supongamos que particionamos nuestro conjunto de n elementos en k conjuntos, la cantidad de particiones en esos k conjuntos es \( S(n,i) \)pues el significado combinatorio de los números de Stirling nos dice de cuantas formas se pueden distribuir n objetos en k conjuntos sin que alguno de esos conjuntos quede vacio....
Por lo tanto, variando k entre 1 y n y aplicando la regla de la suma, nos queda....
\( R_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{S(n,i)} \)
Salu2, Juan Ignacio
