[serpa]

Hola a todos. Un conjunto \( S=\{a_0,a_1,...,a_n\} \subset \mathbb{R}^N \) es geométricamente independiente si para escalares \( t_0,t_1,...,t_n \in{\mathbb{R}} \), tales que
\( \displaystyle\sum_{i=0}^n{t_i}=0 \) y \( \displaystyle\sum_{i=0}^n{t_ia_i}=0 \)
entonces \( t_0=t_1=...=t_n=0 \).
Definimos el n-Plano generado por S como el conjunto \( P=\{x \in{\mathbb{R}^N} | x=\displaystyle\sum_{i=0}^n{t_ia_i},  t_i \in{\mathbb{R}}  \wedge  \displaystyle\sum_{i=0}^n{t_i}=1\}  \).
Una transformación afín es una función T que es composición de translaciónes y transformaciones lineales no singulares.

Mi pregunta es, como puedo demostrar que si T es una transformación afín y S es geométricamente independiente entonces T(S) es geometricamente independiente? Tampoco he podido demostrar que si P es el n-plano generado por S, entonces T(P) es el n-plano generado por el conjunto \( \{T(a_0),T(a_1),...,T(a_n)\} \). Tengo inconvenientes a la hora de hacer los cálculos (no sé que estoy interpretando mal) ya que si definimos \( T(x)=T_1(x)+p \), donde \( T_1 \) es una transformación lineal no singular y p un punto fijo en \( \mathbb{R}^N \), entonces \( T(x)=T(\displaystyle\sum_{i=0}^n{t_ia_i})=\displaystyle\sum_{i=0}^n{t_iT(a_i)}+p \), pero el p me estorba :/ debería llegar a un elemento de la forma \( \displaystyle\sum_{i=0}^n{t_iT(a_i)} \).
Agradezo su atención.

[Héctor Manuel]

Por definición, si T es afín, entonces es de la forma Tx=Ax+b, con x,b elementos de \( \mathbb{R}^N \) y A una matriz invertible.

Desde ahí, puedes terminar?

Saludos.

Pd: Acabo de leerte completo. Creo que mi sugerencia no te ayuda mucho...

[Héctor Manuel]

Nota que T es invertible y por tanto inyectiva y suprayectiva.

Disculpa que no detalle más, pero estoy escribiendo desde mi celular.

Saludos.

[Gustavo]

Hola,

Quieres ver que si \( \{a_0,a_1,...,a_n\} \) es geométricamente independiente, entonces \( \{T(a_0),T(a_1),...,T(a_n)\} \) también lo es. Supón entonces que tienes la transformación afín \( T(x)=T_1(x)+p \) donde \( T_1 \) es lineal invertible.

Supongamos que tenemos escalares \( t_0,\ldots,t_n\in \Bbb R \) tales que \( \displaystyle\sum_{i=0}^nt_i=0 \)   y   \( \displaystyle\sum_{i=0}^nt_iT(a_i)=0 \).

Esto implica que \( 0=\displaystyle\sum_{i=0}^nt_iT(a_i)=\sum_{i=0}^nt_iT_1(a_i)+p\sum_{i=0}^nt_i=T_1\left( \sum_{i=0}^nt_ia_i \right) \),

pero como \( T_1 \) es invertible, debe ocurrir que \( \displaystyle\sum_{i=0}^nt_ia_i=0 \).

Como suponíamos que \( \{a_0,a_1,...,a_n\} \) es geométricamente independiente, tenemos que \( t_0=t_1=\cdots=t_n=0 \), por lo que \( \{T(a_0),T(a_1),...,T(a_n)\} \) es geométricamente independiente.

Para la segunda parte,

\( \displaystyle T(P)=\left\{ T\left( \sum_{i=0}^nt_ia_i \right):t_i\in \Bbb R, \sum_{i=0}^nt_i=1 \right\}=\left\{ \sum_{i=0}^nt_iT(a_i):t_i\in\Bbb R, \sum_{i=0}^nt_i=1\right\}. \)

[serpa]

\( \displaystyle T(P)=\left\{ T\left( \sum_{i=0}^nt_ia_i \right):t_i\in \Bbb R, \sum_{i=0}^nt_i=1 \right\}=\left\{ \sum_{i=0}^nt_iT(a_i):t_i\in\Bbb R, \sum_{i=0}^nt_i=1\right\}. \)

¿Pero no es \( T(x)=T(\displaystyle\sum_{i=0}^n{t_ia_i})=\displaystyle\sum_{i=0}^n{t_iT(a_i)}+p \)?

[Gustavo]

¿Pero no es \( T(x)=T(\displaystyle\sum_{i=0}^n{t_ia_i})=\displaystyle\sum_{i=0}^n{t_iT(a_i)}+p \)?

Supongo que quisiste decir \( T_1 \) en la última parte. Si es así, sí, pero no veo para qué los separas.

[serpa]

Si quise decir \( T_1 \). Los separo porque creo que las translaciones no cumplen la condición  \( f(rx)=rf(x) \).

[Gustavo]

Pero tienes que \( \sum_{i=0}^nt_i=1 \), luego

\( {\displaystyle\sum_{i=0}^nt_iT_1(a_i)+p=\sum_{i=0}^nt_iT_1(a_i)+p\sum_{i=0}^nt_i=\sum_{i=0}^n(t_iT_1(a_i)+t_ip)=\sum_{i=0}^nt_i(T_1(a_i)+p)=\sum_{i=0}^nt_iT(a_i)} \).

[serpa]

Muchísimas gracias por sus respuestas Gustavo y Hector. No lo habia visto. Ahora todo claro. Un saludo.