[Raúl Aparicio Bustillo]

Una pregunta teórica, lo tenía en unos apuntes pero lo he perdido. La definición topológica de continuidad y límite (antes de introducir la función distancia), ¿cómo es?

[Luis Fuentes]

Hola

Una pregunta teórica, lo tenía en unos apuntes pero lo he perdido. La definición topológica de continuidad y límite (antes de introducir la función distancia), ¿cómo es?

Dados dos espacios topológicos \( X,Y  \) y una función \(  f:X\longrightarrow{}Y \):

1- la función \( f \) es continua si para todo abierto \( V \) de \( Y \) se cumple que \( f^{-1}(V)  \) es abierto en \( X \).

2- la función \( f \) es continua en \( x_0\in X \) si para todo abierto \( V \) de \( Y \) con \( f(x_0)\in V \) de \( Y \) existe un abierto \( U \) en \( X \) tal que \( x\in U \) y \( f(U)\subset V \).

3- con esas dos definiciones se cumple que \( f \) es continua si y sólo si lo es en cada punto \( x_0 \) de \( X \).

4- Se dice que \( L\in Y \) es un límite de \( f(x) \) en \( x_0\in X \) si para todo \( V \) abierto de \( Y \) con \( L\in V \) existe un abierto \( U \) en \( X \) tal que \( x_0\in U \) y \( f(U-\{x_0\})\subset V \).

5. Si \( Z\subset X \) y \( x_0\in clasura(Z) \), dada \( f:Z\longrightarrow{}Y \) se dice que \( L\in Y \) es un límite de \( f(x) \) en \( x_0\in X \) si para todo \( V \) abierto de \( Y \) con \( L\in V \) existe un abierto \( U \) en \( X \) tal que \( x_0\in U \) y \( f(U\cap Z-\{x_0\})\subset V \).

Saludos.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Hola

1- la función \( f \) es continua si para todo abierto \( V \) de \( Y \) se cumple que \( f^{-1}(V)  \) es abierto en \( X \).

Esto es algo que siempre se me atravesó, ¿por qué no valdría la definición recíproca de que "es continua si para todo abierto \( V \) de \( Y \) se cumple que \( f(V)  \) es abierto en \( X \).

Podrías ponerme un ejemplo (sencillo, si puede ser con funciones reales, para que "mi definición alternativa" se vea claramente que no es factible.

[Luis Fuentes]

Hola

Esto es algo que siempre se me atravesó, ¿por qué no valdría la definición recíproca de que "es continua si para todo abierto \( V \) de \( Y \) se cumple que \( f(V)  \) es abierto en \( X \).

Podrías ponerme un ejemplo (sencillo, si puede ser con funciones reales, para que "mi definición alternativa" se vea claramente que no es factible.

Dado que la función va de \( X \) a \( Y \) supongo que tu definición alternativa quiso ser:

DEF 1: "es continua si para todo abierto \( U \) de \( X \) se cumple que \( f(U)  \) es abierto en \( Y \)".

Entonces:

- Si consideras una función constante \( f:R\longrightarrow{}R \), \( f(x)=k \) se tiene que la imagen de cualquier abierto es \( \{k\}  \) que no es un abierto de \( R \). Con esa definición no sería continua.

Uno podría arreglar esto escribiendo:

DEF 2: "es continua si para todo abierto \( U \) de \( X \) se cumple que \( f(U)  \) es abierto en \( Y\cap Im(f) \)".

Pero aun así no funciona:

- Si consideras la función constante \( f:R\longrightarrow{}R \):

\( f(x)=\begin{Bmatrix} 1/x & \mbox{ si }& x\neq 0\\0 & \mbox{si}& x=0\end{matrix} \)

cumple las DEF 1 y 2 pero NO es continua con la con el concepto clásico de continuidad.

- Si consideras la función \( f:R\longrightarrow{}[0,+\infty) \),\(  \quad f(x)=|x^2-1| \) es continua pero no cumple ni la DEF 1 ni la 2, ya que \( f(-1/2,1/2)=(3/4,1] \) que no es abierto en \( [0,+\infty) \).

Saludos.