[Michel]

Construir un triángulo ABC, conocidos el ortocentro H, el punto medio del lado AB y el pie de la altura correspondiente al lado BC.

[poolnikov]

Hola.



Llamemos M al punto medio del lado AB, y D al pie de la altura correspondiente al lado BC.

Sea r la recta que une D con H. Esta recta r contendrá al vértice A.

Sea s la recta perpendicular a r que pasa por D, esta recta contendrá al lado BC y por tanto a los vértices B y C.

Sea t la recta paralela a s que pasa por M. Llamemos E al punto de intersección entre las rectas s y t.

Aún no conocemos dónde está ni A ni B, pero sabemos que los triángulos rectángulos AME y ABD son semejantes, por lo tanto se cumplirá:

\( \displaystyle\frac{AM}{AB}=\displaystyle\frac{AE}{AD}=\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{AE}{AD} \) luego E es el punto medio de AD, y ahora podremos fácilmente encontrar A.

Uniendo A con M obtendremos B en la intersección con s.

Por último C estará en la intersección de s con la perpendicular a AM que pasa por H.

Un saludo.

[Michel]

Otra forma.
Supongamos resuelto el problema, siendo A' el pie de la altura trazada desde A.
Como el triángulo AA'B es rectángulo en A', este punto estará en la semicircunferncia de diámetro AB, por tanto de centro M, circunferencia que puede construirse por conocer los puntos M y A'.
Por otra parte, es evidente que el lado BC es perpendicular a HA'.
He asquí entonces la construcción:
1. Circunferencia de centro M y radio MA'.
2. Perpendicular por A' a la recta HD, que corta a esa circunferencia en el vértice B.
3. Simétrico de B respecto de M, que es el vértice A.
4. Perpendicular a AB por H, que corta a la recta BA' en el tercer vértice C