Carlos, creo que tengo una laguna en el concepto de verdad, porque no logro entender que la veracidad de una afirmación no demostrable en una teoría débil, pueda ser demostrable en otra teoría más fuerte, pero no su falsedad (no has hablado de esa posibilidad, pero es en la que yo incido. Al fin y al cabo, nunca supimos si era verdadera o falsa, sólo lo que parecía ser).
¿Puede ser que sobre el "no" que he puesto en rojo? Lo que creo entender que dices es que entiendes que una afirmación no demostrable pueda probarse que es verdadera en una teoría más fuerte, pero no que sea falsa.
Supongamos que hay una afirmación que es verdadera ("Todo número par salvo 2 se puede expresar como suma de dos primos") y que no es demostrable. A priori no sé si es verdadera, pero me aseguran que no es demostrable. Pruebo con un ordenador muchísimos números, y veo que todos son expresable como suma de dos primos, y me aventuro a opinar que es verdadera. Matiz: Parece verdadera.
Supongamos que, efectivamente, fuera verdadera (y aún no lo sé).
Aquí estás haciendo una afirmación que yo comparto, pero que otros (sin alejarnos de este foro) cuestionan. Estás afirmando que tiene sentido decir que la afirmación es verdadera aunque no sepamos cómo demostrarlo. Yo estoy de acuerdo: tanto si sabemos demostrarlo como si no, o bien hay un número par que no puede expresarse como suma de dos primos, o bien no lo hay. No es algo que dependa de unos axiomas ni de nada, o lo hay o no lo hay. Otra cosa es que lleguemos a saber si lo hay o no lo hay. Resalto esto porque es bueno dejar claro que hay quien discrepa.
Al no ser demostrable, no existe ningún argumento que ligue los teoremas de la teoría con esa afirmación, así que no debería tener consecuencia alguna en cuanto a consistencia afirmar que es mentira, que la afirmación es falsa, y que existe al menos un número par mayor que 2 que no se puede expresar como suma de dos primos. ¿Estoy en lo cierto?
Totalmente.
Expresado de otra forma, dado que no es demostrable esa afirmación, y pese a parecer verdadera (a lo mejor lo es y todo, en el sentido de que, efectivamente, ni en un millón de años encontraremos tal número par),
No. En el sentido de que nunca lo encontraremos, aunque viviéramos eternamente. Cabe la posibilidad de que no exista tal número par.
podemos usar una teoría más fuerte que demuestre que esa afirmación es falsa, consistentemente con todos los teoremas ya demostrados por la teoría débil.
En efecto, así es. Y, si te sigo bien, crees ver alguna contradicción en todo esto, pero no la hay.
En efecto, si la conjetura de Goldbach fuera verdadera, pero indemostrable a partir de los axiomas de Peano, sería consistente añadir a los axiomas de Peano un axioma que dijera que existe un número par que no es suma de dos primos. La teoría resultante sería consistente, a pesar de contar con un axioma falso. No vas a llegar a ninguna contradicción en ella porque eso sería tanto como demostrar la conjetura de Goldbach por reducción al absurdo (suponemos que es falsa y llegamos a una contradicción).
Esa situación tiene un nombre: la teoría resultante es consistente, pero \( \omega \)-contradictoria. (\( \omega \) es el nombre "fino" que tiene el conjunto \( \mathbb N \) de los números naturales en teoría de conjuntos). Que sea \( \omega \)-contradictoria significa que puedes demostrar que existe un número natural que cumple cierta propiedad (en este caso ser par y no ser suma de dos primos, y lo puedes demostrar trivialmente, porque lo tienes como axioma), pero al mismo tiempo puedes demostrar (comprobándolo) que el 0 no es ese natural, ni el 1, ni el 2, ni el 3, ni el 4, ...
Eso "roza" la contradicción, pero no hay ninguna contradicción en ello. Todo tu razonamiento no es más que un argumento totalmente correcto que muestra que el teorema de incompletitud implica la existencia de teorías consistentes \( \omega \)-contradictorias.
Con los axiomas de Peano me sale una contradicción en el razonamiento,
No. Lo que dices es correcto, pero no hay contradicción.
Si se demuestra que los axiomas de Peano son inconsistentes a partir de otra teoría: Nunca encontraremos tal contradicción porque es mentira (supongamos que verdaderamente son consistentes, en el sentido de que nunca encontraremos dicha contradicción), pero en el marco de esa teoría más amplia que diseño: se demuestra que los axiomas de Peano son contradictorios, y gracias al comodín que me daba la indecidibilidad que tenía originalmente la afirmación en la teoría débil, el resultado "los axiomas de Peano son inconsistentes" son consistentes con el resto de los teoremas de la teoría de débil y fuerte.
Hasta aquí todo correcto.
Y eso es una contradicción en sí misma, así que las frases sobre la consistencia en sí misma, concluyo, se tratan por separado, son más delicadas.
No, no hay nada que tratar por separado. Simplemente no hay contradicción. Si los axiomas de Peano son consistentes, es consistente añadirles como axioma otro que afirme que son contradictorios.
Es realmente lo mismo que hablábamos antes. Piensa que toda demostración se puede escribir en un documento de LaTeX y un documento de LaTeX en un ordenador no es más que una sucesión de ceros y unos, de modo que cada demostración tiene asociado un número natural que la determina completamente. Afirmar que los axiomas de Peano son contradictorios equivale a afirmar que existe un número natural que codifica la demostración de una contradicción en el sentido de que si lo interpretas como un número binario y éste a su vez como un documento LaTeX metido en un ordenador, lo que se lee al abrirlo con el programa adecuado es la demostración de una contradicción a partir de los axiomas de Peano.
Y, como antes, es consistente suponer que existe tal número que codifica una demostración, a pesar de que puedes comprobar que el 0 no es tal número, ni el 1, ni el 2, ni el 3, ni el 4...
Dicho de otro modo: que en una teoría puedas demostrar que existe un par que no es suma de dos primos, o que existe una demostración de una contradicción en AP (la aritmética de Peano)
no implica ni que la conjetura de Goldbach sea falsa ni que AP sea contradictoria. No si la prueba no es constructiva.
Veo que has editado el mensaje mientras te contestaba:
No, no, ya he resuelto la paradoja. No hay contradicción: Demostraremos en la teoría fuerte que la teoría débil es inconsistente, y este teorema será consistente con todos los teoremas de la teoría débil (resultado trivial al ser algo no demostrable en ella) y con los de la teoría fuerte.
En efecto.
Lo que sucede es que los matemáticos que trabajen en el marco de la teoría débil únicamente, no estarán seguros de si sus axiomas son consistentes o no (pues no es demostrable). Y los que trabajen en el marco de la teoría fuerte, demostrarán cabizbajos o incluso abandonarán la teoría, aunque nunca hallarán contradicción alguna, pues la teoría bien podía ser consistente pese a haber sido demostrada falsa (es decir: La demostración de ese teorema de inconsistencia implica que: El teorema Es consistente es consistente con el resto de la teoría, sea verdadero o no. Y es verdadero en el sentido de que nunca hallaremos contradicción.
Aquí me desconcierta que digas "es consistente". Lo que dices es verdad, pero lo que estás argumentando es que "es contradictorio" es consistente con el resto de la teoría.
Ufff es súpersutil lo que trato de expresar dentro y fuera del spoiler. Es la misma idea, sólo que en el spoiler la frase se las trae con tanta consistencia... trato de separar lo que es "verdad" y lo que es "consistente y demostrable y en armonía todos los axiomas con todos los teoremas demostrados hasta ahora".
Si no os enteráis de nada, decidme: Piockñec, no se entiende nada. Borra y empieza otra vez.
Es que me está costando expresar esta idea, pero prometo que la tengo clara en mi mente jajaja no se está dando el caso en el que ni la tenga clara y por tanto no sepa ni expresarla 
Todo lo contrario. Debo confesar que me impresiona la lucidez casi impecable de tu argumentación, a pesar de que no pareces estar familiarizado con estos temas.
