[mazuro]

Hola a todos

Determina el valor de \( k \) de manera que la recta \( x+y=k \) sea tangente a la parábola \( y^2=8x \)

Hallé la derivada de la parábola con respecto a \( y \) e igualé la pendiente que es \( -1 \) y obtuve que \( y=-4 \), luego \( x=2 \)  entonces \( k=-2 \)  ...   bueno no sé si está bien derivar con respecto a \( y \)  para el ejercicio...

La recta tangente sería \( y=-2-x \)  y  el punto de tangencia es \( (-2,4) \)  Corregido, error tal vez al digitar, el punto es (2,-4)

Ahora quiero hallar la derivada de la parábola con respecto a \( x \) , obtengo  \( y'=\pm{2\sqrt[ ]{2x}} \)... y se obtiene \( x=4 \) cuando igualo esta derivada con la pendiente \( -1 \)...   Y se obtiene dos valores para \( y \)  por lo del "\( \pm{} \)"   \( y=4\sqrt[ ]{2} \)   y  \( y=-4\sqrt[ ]{2} \)

¿Qué sucede aquí, con  \( (4,4\sqrt[ ]{2}) \)   y   \( (4,-4\sqrt[ ]{2}) \)? ...

Realizo las gráficas y \( y=-2-x \)  pasa por el punto hallado al principio: \( (-2,4) \) ... (2,-4)

 

Muchas gracias, saludos.

[ingmarov]

Hola a todos

Determina el valor de \( k \) de manera que la recta \( x+y=k \) sea tangente a la parábola \( y^2=8x \)

Hallé la derivada de la parábola con respecto a \( y \) e igualé la pendiente que es \( -1 \) y obtuve que \( y=-4 \), luego \( x=2 \)  entonces \( k=-2 \)  ...   bueno no sé si está bien derivar con respecto a \( y \)  para el ejercicio...

La recta tangente sería \( y=-2-x \)  y  el punto de tangencia es \( (-2,4) \)

Ahora quiero hallar la derivada de la parábola con respecto a \( x \) , obtengo  \( y'=\pm{2\sqrt[ ]{2x}} \)... y se obtiene \( x=4 \) cuando igualo esta derivada con la pendiente \( -1 \)...   Y se obtiene dos valores para \( y \)  por lo del "\( \pm{} \)"   \( y=4\sqrt[ ]{2} \)   y  \( y=-4\sqrt[ ]{2} \)

¿Qué sucede aquí, con  \( (4,4\sqrt[ ]{2}) \)   y   \( (4,-4\sqrt[ ]{2}) \)? ...

Realizo las gráficas y \( y=-2-x \)  pasa por el punto hallado al principio: \( (-2,4) \) ...

 

Muchas gracias, saludos.

El punto (-2,4) no pertenece a la parábola ni a la recta.

A ver una forma que te ha recomendado el_manco un par de veces:

Spoiler

Despejamos para x en ambas ecuaciones

x=-y+k

\( x=\dfrac{y^2}{8} \)


igualamos, y recordamos que, para que la recta sea tangente, el polinomio resultante de igualar debe tener una raíz doble.

\( \dfrac{y^2}{8}=-y+k \)

\( \dfrac{y^2}{8}+y-k=0 \)

Para que la raíz se de orden dos, se cumple que

\( 1-4(\frac{1}{8})(-k)=0 \)    entonces k=-2

Entonces la recta es x+y=-2

Esta recta es tangente a la parábola en el punto (2,-4)

[cerrar]

Tu recta es correcta, pero no el punto que has anotado

derivando respecto a x queda:

\( x'=\dfrac{y}{4} \)    y esta derivada es -1 cuando y=-4

[mazuro]

Hola ingmarov

Qué penita el error fue tal vez de percepción o digitación pero sí el punto es (2,-4) y lo hice como me ha sugerido el_manco...

Es solo la duda por esto:

Ahora quiero hallar la derivada de la parábola con respecto a \( x \) , obtengo  \( y'=\pm{2\sqrt[ ]{2x}} \)... y se obtiene \( x=4 \) cuando igualo esta derivada con la pendiente \( -1 \)...   Y se obtiene dos valores para \( y \)  por lo del "\( \pm{} \)"   \( y=4\sqrt[ ]{2} \)   y  \( y=-4\sqrt[ ]{2} \)

¿Qué sucede aquí, con  \( (4,4\sqrt[ ]{2}) \)   y   \( (4,-4\sqrt[ ]{2}) \)? ...

En fin...

Muchas gracias, saludos.

[ingmarov]

A ver..

\( y=\pm\sqrt{8x} \) Solo nos sirve la parte negativa

\( y=-2\sqrt{2x} \)   Derivando, creo que lo has hecho mal.  O aún no entiendo tu duda.

\( y'=\dfrac{-2}{\sqrt{2x}} \)


Entonces para y'=-1     x=2

[mazuro]

Hola ingmarov

Me equivoqué con lo de la derivada de \( y=\pm\sqrt{8x} \), por eso no me salían los mismos valores para el punto de tangencia. 

Bueno me gustaría saber por qué se toma la parte negativa...

Muchas gracias, saludos.

[ingmarov]

Hola ingmarov

Me equivoqué con lo de la derivada de \( y=\pm\sqrt{8x} \), por eso no me salían los mismos valores para el punto de tangencia. 

Bueno me gustaría saber por qué se toma la parte negativa...

Muchas gracias, saludos.

Si ves la gráfica de la parábola cóncava hacia la derecha, la parte negativa es la que tiene pendiente negativa (necesitamos -1) en todo su dominio.

[mazuro]

Ok muchas gracias ingmarov