[mazuro]

Hola a todos

Muestra que la ecuación \( x^4+px^3+qx^2+px+1=0 \)  es soluble mediante radicales cuadráticos y resuélvela. Sugerencia: divide a cada uno de los términos de la ecuación por \( x^2 \) y realiza un cambio de variable conveniente.

No sé cómo hacer el cambio de variable, estuve mirando en Wikipedia pero no entiendo.. cómo puedo empezar a proceder?

Muchas gracias, saludos.

[Gustavo]

Hola,

Ves que \( x=0 \) no es solución. Tras dividir entre \( x^2 \) te queda

\( \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+p\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+q=0 \).

Mira a qué es igual \( \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 \) y cómo te ayuda eso a definir un cambio de variable.

[mazuro]

Hola

Creo que haciendo \( t^2 = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 +2+\displaystyle\frac{1}{x^2} \)   luego    \( \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)=t^2-2 \) 

Ahora como \( t^2 = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 \)   entonces   \( t = \left(x+\dfrac{1}{x}\right) \)   y la ecuación quedaría:

       \( t^2-2+pt+q=0 \)  entonces   \( t^2+pt+(q-2)=0 \)

Y se tiene  \( t_{1,2}=\displaystyle\frac{-p\pm{\sqrt[ ]{p^2-4(q-2)}}}{2} \)

Sí es de esta manera?

Muchas gracias, saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que haciendo \( t^2 = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 +2+\displaystyle\frac{1}{x^2} \)   luego    \( \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)=t^2-2 \) 

Ahora como \( t^2 = \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2 \)   entonces   \( t = \left(x+\dfrac{1}{x}\right) \)   y la ecuación quedaría:

       \( t^2-2+pt+q=0 \)  entonces   \( t^2+pt+(q-2)=0 \)

Y se tiene  \( t_{1,2}=\displaystyle\frac{-p\pm{\sqrt[ ]{p^2-4(q-2)}}}{2} \)

Sí es de esta manera?

Muchas gracias, saludos.

Si, está bien.

Saludos.

[mazuro]

Muchas gracias   
Saludos