[Michel]

En el trapecio ABCD,de bases AB=a y CD=b (a>b), P es el punto de intersección de las diagonales.
Hallar la relación de las áreas de los triángulos APB y ABC.

[poolnikov]

Hola.

Llamaremos C' a la proyección de C sobre AB y P' a la proyección horizontal de P sobre AB.

Por semejanza de los triángulos CC'B y PP'B tenemos: \( \displaystyle\frac{CC'}{PP'}=\displaystyle\frac{C'B}{P'B} \)

Por semejanza de triángulos DD'A y PP'A tenemos: \( \displaystyle\frac{CC'}{PP'}=\displaystyle\frac{AD'}{AP'} \)

Igualando ambas expresiones y aplicando las propiedades de las fracciones:

\( \displaystyle\frac{CC'}{PP'}=\displaystyle\frac{C'B}{P'B}=\displaystyle\frac{AD'}{AP'}=\displaystyle\frac{C'B+AD'}{AP'+P'B}=\displaystyle\frac{2a-b}{a} \)

Luego la relación de áreas será:

\( \displaystyle\frac{A_{APB}}{A_{ABC}}=\displaystyle\frac{AB\cdot{}PP'/2}{AB\cdot{}CC'/2}=\displaystyle\frac{PP'}{CC'}=\displaystyle\frac{a}{2a-b} \)

saludos

[Michel]

Hola.

Creo que C'B+AD'=2a-b no es correcta; yo obtengo otro valor.

¿Lo repasamos los dos?

Saludos

[poolnikov]

Efectivamente michel, tienes razón.

\( C'B+AD'=(C'D'+D'B)+(AC'+C'D')=(AC'+C'D'+D'B)+C'D'=a+b \) , teniendo en cuenta que \( C'D'=CD=b \)

saludos

[Michel]

Sean x e y las alturas de los triángulos APB y CPD, respectivamente.

\( (APB)=\frac{1}{2}ax \)               \( (ABCD)=\frac{1}{2}(a+b)(x+y) \)

\( \frac{(APB)}{(ABCD)}=\frac{a}{a+b}.\frac{x}{x+y} \)          (1)

Los triángulos APB y CPD son semejantes, luego las bases son proporcionales a las alturas:

\( \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{x+y}{a+b}\Rightarrow{\frac{x}{x+y}=\frac{a}{a+b}} \)

Sustituyendo en (1):

\( \frac{(APB)}{(ABCD)}=\frac{a^2}{(a+b)^2} \)