Hola a todos
Son 10 preguntas pero todas tienen relación, agradezco la valiosa colaboración, muchas gracias.
Responda y argumente cada una de las siguientes preguntas.
1) Diga si una función \( f \) puede tener un punto crítico donde no alcance un valor máximo o un valor mínimo.
Pienso que sí por ejemplo \( f(x)=x^3 \) un punto crítico es el \( 0 \) ya que \( f'(0)=0 \) y allí no hay máximo ni mínimo... además cumple con la definición de punto crítico...
2) Si \( f \) es una función definida en un intervalo \( I=(a,b) \) que tiene un punto crítico \( c\in{(a,b)} \) ¿Qué podemos decir de \( f(c) \)?
Pienso que \( f(c) \) puede ser máximo o mínimo si \( f \) es derivable o \( f(c)=0 \) por \( x^3 \) ...
3) Si \( f \) es una función definida en un intervalo \( I=[a,b] \) que tiene un valor máximo o un valor mínimo en un punto \( c\in{[a,b]} \) donde es derivable ¿qué podemos decir de \( f'(c) \)?
\( f'(c)=0 \) ... es una raíz de la derivada de \( f \)...
4) Si \( c \) es un punto crítico de una función \( f \) en donde la función no alcanza su valor máximo ni mínimo ¿qué podemos decir de la función \( f \) en el punto \( c \)?
Que la función es creciente por ejemplo \( x^3 \) o decreciente como \( -x^3 \)
5) ¿Puede una función \( f \) tener un punto de inflexión en un punto \( c \) donde la derivada no sea cero?
Sí, por ejemplo, \( f(x)=sen(x) \) en \( x=\pi \) es punto de inflexión y la derivada \( f'(\pi)=cos(\pi)=-1 \) ...
6) Si une función \( f \) definida y derivable en un intervalo \( I=(a,b) \) tiene un máximo en un punto \( c\in{(a,b)} \) es cierto que entonces \( f'(x)>0 \) para \( x \) cercanas y a la izquierda de \( c \) y \( f'(x)<0 \) para \( x \) cercanas y a la derecha de \( c \)?
Sí por el ejemplo anterior... además para \( x<c \) se tiene que \( f(c)-f(x)=f'(d)(c-x)>0 \) entonces \( f(c)>f(x) \) y \( x>c \) se tiene que \( f(x)-f(c)=f'(d)(x-c)<0 \) entonces \( f(c)>f(x) \) se tiene un máximo
7) Si en una función definida y dos veces derivable en un intervalo \( I=(a,b) \) tiene un mínimo en un punto \( c\in{(a,b)} \) ¿es cierto que \( f''(c)>0 \)?
Sí el criterio de la segunda derivada
8) Para calcular los valores máximo y mínimo de una función ¿cuál criterio prefiere utilizar? el de la primera derivada o el de la segunda derivada. Explique por qué.
El de la segunda derivada.
9) Si para una función dada, puede aplicar el criterio de la primera derivada ¿por qué acudir al criterio de la segunda derivada?
Por los máximos, mínimos, concavidad...
10) Dada una función \( f \) ¿en qué casos no es posible aplicar el criterio de la segunda derivada?
Cuando la función es constante, su primera derivada es cero... mmm pienso que cuando un polinomio es de grado 2 no se puede...
Muchas gracias, saludos.
