[mazuro]

Hola a todos

Sea \( ABCD \) un paralelogramo, \( EC \) y \( FB \) son bisectrices de los ángulos \( DCB \)  y \( EBC \) respectivamente.  Demuestra que \( EF=FC \)




Lo que hice, quisiera saber si está bien...

1-  \( \widehat{DCE}\equiv{\widehat{ECB}} \)     (\( EC \) es bisectriz)

2-  \( \widehat{EBF}\equiv{\widehat{CBF}} \)      (\( FB \) es bisectriz)

3-  \( \widehat{DCE}\equiv{\widehat{CEB}} \)     (Ángulos alternos internos entre paralelas DC y AB, pues ABCD es un paralelogramo)

4-  \( \widehat{CEB}\equiv{\widehat{ECB}} \)      (Transitiva 2 y 3)

5-  El triángulo \( EBC \)  es isósceles        (Por 4-)

6- Los triángulos \( EBF \)  y  \( CBF \) son semejantes     (Criterio AAA, pues hay dos ángulos correspondientes que son congruentes en ambos triángulos, 2- y 4-)

Ahora demostrar que son congruentes.

Como los triángulos  \( EBF \)  y  \( CBF \) son semejantes por AAA y comparten un mismo lado que es la bisectriz \( FB \), entonces por el criterio de congruencia ALA, ambos triángulos son congruentes de donde se deduce que \( EF=FC \)

Muchas gracias, saludos.

[ingmarov]

Hola

Creo que para aplicar el criterio ALA debes tener el lado congruente entre los ángulos congruentes. Lo que tienes es AAL Esto no es correcto

Considéralo otra forma nada más.

Para probar la congruencia yo usaría que: Los ángulos adyacentes de un paralelogramo  son suplementarios y por esto:

\( \angle{BCE}+\angle{CBF}=90^{\circ} \)    Es decir son complementarios. Por esto los triángulos BCF y BFE son rectángulos (porque \( \angle{CFB}=90^{\circ} \)) y de aquí es más fácil decir que estos son congruentes.

Perdona fue un despiste, tu razonamiento es correcto.

[mazuro]

Ingmarov muchas gracias, entendí.