Hola.
Yo voy a poner otra forma de resolverlo, un poco (quizás bastante) más compleja.
Primero, numeramos las llaves del 1 al 10. Después, consideremos el vector de llaves: (1º, 2º, 3º...) donde en cada coordenada hay un acierta o un falla. Para el primer ejercicio.
Una vez considerado esto, nuestro problema se reduce a las formas de ordenar las 10 llaves de tal manera que en la 3º posición esté la llave que abre la puerta, es decir, permutaciones sin repetición de 10 elementos en las cuales fijamos el tercero, o lo que es lo mismo, permutaciones de 9 elementos, que serían los casos favorables. Y los casos totales, que son todas las formas de ordenar un conjunto de 10 elementos. Luego:
\( P[ \)3º llave abra\( ] = \displaystyle\frac{9!}{10!}=\displaystyle\frac{1}{10} \)
Para el segundo ejercicio me es más fácil pensar de otra forma. Queremos escoger 3 elementos de un conjunto de 10. Cogemos uno, lo miramos y lo devolvemos. Como además nos importa el orden en el que salen, son variaciones con repetición. El total de casos es fácil, \( 10^3 \), y el número de casos favorables serán aquellos en los cuales el tercer elemento sea la llave correcta. Es decir, nos interesa saber de cuántas formas podemos escoger las 2 primeras llaves siempre y cuando no sean las correctas, o lo que es lo mismo, variaciones con repetición otra vez. Como ahora son 9 llaves (la buena no puede estar en este conjunto) y escogemos 2, es \( 9^2 \). Luego:
\( P[ \)b\( ] = \displaystyle\frac{9^2}{10^3}=\displaystyle\frac{81}{1000} \).
Que es lo que quiso poner Juan Pablo, pero se comió un cero.
¿Para este ejercicio hace falta aplicar estas fórmulas? Pues no, con el razonamiento de Juan Pablo se va bien, pero está bien saber esta forma de pensar porque en ejercicios mas complejos quizás no puedas aplicar lo otro.
Saludos.
