Hola
Necesito ayuda con este problemas.
La duración en horas de una lampara es una v.a continua con función de densidad constante entre 0 y 100 horas y proporcional a la inversa de la raíz cuadrad de la duración a partir de 100 horas. Se sabe quebesebtipo de lamparas dura , como máximo, 400 horas y que el 64% de ellas dura menos de 121 horas.
He hallado las constantes de la función de densidad y me ha dado 0,02 y 0,006
Eso es correcto. Te queda que la densidad es:
\( f(x)=\begin{Bmatrix} 0.006 & \mbox{ si }& x\in [0,100]\\\dfrac{0.02}{\sqrt{x}} & \mbox{si}& x\in (100,400]\\0 & &\mbox{ en otro caso}\end{matrix} \)
1. Calcula la función de distribución de la duración de una lampara
Por definición la distribución es:
\( F(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}f(t)dt \)
Distingue los siguientes casos:
- Si \( x<0 \) te queda \( F(x)=0 \).
- Si \( x\in [0,100] \) te queda: \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}0.006dt \)
- Si \( x\in (100,400] \) te queda: \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{100}0.006dt+\displaystyle\int_{100}^{x}\dfrac{0.02}{\sqrt{t}}dt \)
- Si \( x>400 \) entonces \( F(x)=1 \).
2. La duración media de una de esas lámparas.
Calcula la media de la variable aleatoria:
\( E[X]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}tf(t)dt=\displaystyle\int{0}^{100}0.002tdt+\displaystyle\int{100}^{400}t\cdot \dfrac{0.06}{\sqrt{t}}dt \)
2. Se ha valorado el coste de sustitución de una de esas lamparasbde forma que supone una cantidad fija deb100€ quebsebreducr en 20€ por cada tramo de 100 horas que dura la lampara. Calcula la función de distribución del coste de sustitución de una de esas lámparas
Si llamas \( Y \) al coste se tiene que:
\( Y=100 \) si \( X\in [0,100) \)
\( Y=100-20 \) si \( X\in [100,200) \)
\( Y=100-2\cdot 20 \) si \( X\in [200,300) \)
\( Y=100-3\cdot 20 \) si \( X\in [300,400) \)
Entonces por ejemplo \( P(Y=80)=P(100\leq X<200)=F(200)-F(100). \)
3 Ssi en un edificio hay 500 lámparas de este tipo que funcionan de forma independiente, calcula el numero medio de lamparas que seguirán funcionando 250 después de haber sido colocadas
Llama p a la probabilidad de que una lámpara dure más de \( 250 \) hora. Se tiene que:
\( p=P(X>250)=1-P(X\leq 250)=1-F(250) \)
Ahora el número de lámparas que duran más de \( 250 \) horas entre un total de \( 500 \) es una binomial \( B(500,p). \)
Saludos.
