Dado el siguiente sistema dinámico no lineal:
\( A(n+1)=\displaystyle\frac{A(n)+\mu}{1+A(n)}; n\in{\mathbb{N}\cup{0}} ; \mu >0 \)
Determina sus puntos de equilibrio así como la estabilidad de estos.
He llegado a calcular cuáles son los puntos (\( +\sqrt[ ]{\mu} , - \sqrt[ ]{\mu} \).
En clase me han dado el siguiente teorema:
Considerando el sistema dinámico como f(A(n)) y siendo a el punto de equilibrio. Si f tiene derivada continua en un entorno de a, entonces:
1. a es estable si \( \left |{f'(A(n))}\right | < 1 \)
2. a es inestable si \( \left |{f'(A(n))}\right | > 1 \)
3. el resultado no es concluyente si \( \left |{f'(A(n))}\right | = 1 \)
Bien, calculando la derivada me queda \( f'(A(n))=\displaystyle\frac{1-\mu}{(1+(A(n))^2} \)
Para \( +\sqrt[ ]{\mu} \) no tengo ningún problema y llego a que es punto estable.
En cambio, para \( -\sqrt[ ]{\mu} \) tengo el siguiente problema.
Sea \( \mu \in{(0,1)}, f'(A(n))>0 \) y operando llego a que el punto es inestable en dicho intervalo.
Y sea \( \mu \in{(1,+\infty)}, -f'(A(n))>0 \) y operando llego a que el punto también es inestable en este intervalo.
El problema llega cuando represento gráficamente el sistema y voy calculando sus puntos con distintos parámetros iniciales, pues en cualquier caso me salen que son estables. ¿Dónde está el error, si es que lo hay?
