[Michel]

Se da el paralelogramo ABCD y una recta exterior r.

Si A', B', C', D' son las proyecciones de A, B, C y D, respectivamente, sobre r, demostrar que

                        BB'+DD'=AA'+CC'

[poolnikov]

Hola.

Por semejanza de triángulos, AA'J y BB'J tendremos:

\( \displaystyle\frac{AA'}{BB'}=\displaystyle\frac{A'J}{B'J}=\displaystyle\frac{A'B'+B'J}{B'J}=\displaystyle\frac{A'B'}{B'J}+1\Rightarrow{}AA'=\displaystyle\frac{A'B'\cdot{}BB'}{B'J}+BB' \)

Exactamente igual, pero ahora por la semejanza de los triángulos DD'G y CC'G tenemos después de operar como arriba:

\( \displaystyle\frac{CC'}{DD'}=\displaystyle\frac{C'G}{D'G}\Rightarrow{}CC'+\displaystyle\frac{D'C'\cdot{}CC'}{C'G}=DD' \)

Sumando, miembro a miembro las dos expresiones a las que hemos llegado tenemos:

\( AA'+CC'+\displaystyle\frac{D'C'\cdot{}CC'}{C'G}=\displaystyle\frac{A'B'\cdot{}BB'}{B'J}+BB'+DD' \)

Para llegar a la expresión que queremos demostrar solamente nos falta ver que las dos fracciones de la expresión anterior son iguales.

Continuará...

[Michel]

Hola.

Otra forma.

Considerar los trapecios rectángulos DD'B'B y AA'C'C, cuyos lados oblicuos son BD y AC, que son las diagonales del paralelogramo dado.

Saludos.

[poolnikov]

Continúo.

Veamos que \( \displaystyle\frac{D'C'\cdot{}CC'}{C'G}=\displaystyle\frac{A'B'\cdot{}BB'}{B'J} \)

Primero, como los triángulos ABK y DCL son iguales, por tener ángulos iguales y lados iguales entonces se ve fácil que D'C'=A'B'.

Segundo, como los triángulos CC'G y BB'J son semejantes, podremos decir que se cumple: \( \displaystyle\frac{CC'}{C'G}=\displaystyle\frac{BB'}{B'J} \)

Así de este modo queda demostrado lo que queríamos.

Saludos

[Michel]

Hola poolnikov.

Los trapecios rectángulos DD'B'B y AA'C'C tiene como lados oblicuos las diagonales BD y AC del paralelogramo dado; como esta diagonales se cortan en su punto medio O, los dos trapecios tienen la misma paralela media OO'.

Entonces: OO'=(BB'+DD')/2=(AA'+CC')/2

Y de aquí: BB'+DD'=AA'+CC'

Saludos.