[chuky]

Hola verán, tengo una duda de geometría II (grado de matemáticas), estoy estudiando espacios vectoriales euclideos, es decir, aquellas métricas en las que se puede encontrar una base ortonormal en la que la matriz diagonal es la identidad de orden n. Mi pregunta es si la norma de un vector depende de la métrica que tengas o no. Una de las propiedades de la norma es que siempre es mayor o igual que cero, por tanto si estamos trabando en una métrica con una matriz que no es la matriz en la base ortonormal no tendría por qué cumplirse esa propiedad. Entonces, si la norma está definida en relación con la base ortonormal que te da la matriz diagonal, estás calculando la norma de ese vector en una cierta base que te da esa matriz ortonormal, y que por tanto, depende de la métrica... Estoy en lo cierto o estoy hecho un gran lío? Espero haberme explicado bien. A ver si alguien me lo puede aclarar por favor

[Fernando Revilla]

Spoiler

Hola verán, tengo una duda de geometría II (grado de matemáticas), estoy estudiando espacios vectoriales euclideos, es decir, aquellas métricas en las que se puede encontrar una base ortonormal en la que la matriz diagonal es la identidad de orden n. Mi pregunta es si la norma de un vector depende de la métrica que tengas o no. Una de las propiedades de la norma es que siempre es mayor o igual que cero, por tanto si estamos trabando en una métrica con una matriz que no es la matriz en la base ortonormal no tendría por qué cumplirse esa propiedad. Entonces, si la norma está definida en relación con la base ortonormal que te da la matriz diagonal, estás calculando la norma de ese vector en una cierta base que te da esa matriz ortonormal, y que por tanto, depende de la métrica... Estoy en lo cierto o estoy hecho un gran lío? Espero haberme explicado bien. A ver si alguien me lo puede aclarar por favor

[cerrar]

Bienvenido al foro.

Veamos, si estamos en un espacio vectorial euclídeo \( E, \) la norma naturalmente asociada a su producto escalar \( \langle \;,\;\rangle \) es \(  \left\|{x}\right\|=\langle x, x\rangle, \) y la distancia correspondiente \( d(x,y)= \left\|{x-y}\right\|. \) La norma no está definida con respecto a ninguna base, depende intrínsecamente del producto escalar. Otra cuestión es que respecto a una base ortonormal la matriz de Gram es la identidad y la expresión de la norma en tal base sería \(  \left\|{x}\right\|=\sqrt{x_1^2+\ldots +x_n^2}, \) y esto es una cuestón de cálculo, pero no conceptual.

Te puede ser útil el problema 4 aquí:

http://fernandorevilla.es/bases-ortonormales-metodo-de-schmidt/

[chuky]

Spoiler

Hola verán, tengo una duda de geometría II (grado de matemáticas), estoy estudiando espacios vectoriales euclideos, es decir, aquellas métricas en las que se puede encontrar una base ortonormal en la que la matriz diagonal es la identidad de orden n. Mi pregunta es si la norma de un vector depende de la métrica que tengas o no. Una de las propiedades de la norma es que siempre es mayor o igual que cero, por tanto si estamos trabando en una métrica con una matriz que no es la matriz en la base ortonormal no tendría por qué cumplirse esa propiedad. Entonces, si la norma está definida en relación con la base ortonormal que te da la matriz diagonal, estás calculando la norma de ese vector en una cierta base que te da esa matriz ortonormal, y que por tanto, depende de la métrica... Estoy en lo cierto o estoy hecho un gran lío? Espero haberme explicado bien. A ver si alguien me lo puede aclarar por favor

[cerrar]

Bienvenido al foro.

Veamos, si estamos en un espacio vectorial euclídeo \( E, \) la norma naturalmente asociada a su producto escalar \( \langle \;,\;\rangle \) es \(  \left\|{x}\right\|=\langle x, x\rangle, \) y la distancia correspondiente \( d(x,y)= \left\|{x-y}\right\|. \) La norma no está definida con respecto a ninguna base, depende intrínsecamente del producto escalar. Otra cuestión es que respecto a una base ortonormal la matriz de Gram es la identidad y la expresión de la norma en tal base sería \(  \left\|{x}\right\|=\sqrt{x_1^2+\ldots +x_n^2}, \) y esto es una cuestón de cálculo, pero no conceptual.

Te puede ser útil el problema 4 aquí:

http://fernandorevilla.es/bases-ortonormales-metodo-de-schmidt/

Gracias por tu respuesta.
modifico: Lo que quiero decir es que si tienes una métrica g en un espacio vectorial V de dimensión n, acabo de comprender que independientemente de la base te saldrá la misma norma, hasta ahí bien. Pero puedes tener que distintas métricas se pueden ortonormalizar en ciertas bases (distintas para cada métrica) en la matriz identidad, y por tanto, te saldrá el cálculo de la norma de un mismo vector diferente en cada métrica, ¿Me equivoco?, ¿Depende entonces el cálculo de la norma de la métrica? Mi duda viene porque no estoy seguro de que realmente sean distintas métricas las que se pueden expresar en términos de una matriz identidad para una cierta base. Pero es que, si definimos métricas diferentes con matriz identidad en distintas bases para cada métrica, obtenemos resultados diferentes a la hora de calcular la norma, lo cual es debido a que son métricas distintas, o así lo entiendo ahora mismo.
no sé si estoy en lo cierto o si me equivoco en algo, gracias.

[Fernando Revilla]

Pero puedes tener que distintas métricas se pueden ortonormalizar en ciertas bases (distintas para cada métrica) en la matriz identidad, y por tanto, te saldrá el cálculo de la norma de un mismo vector diferente en cada métrica, ¿Me equivoco?, ¿Depende entonces el cálculo de la norma de la métrica? Mi duda viene porque no estoy seguro de que realmente sean distintas métricas las que se pueden expresar en términos de una matriz identidad para una cierta base. Pero es que, si definimos métricas diferentes con matriz identidad en distintas bases para cada métrica, obtenemos resultados diferentes a la hora de calcular la norma, lo cual es debido a que son métricas distintas, o así lo entiendo ahora mismo.
no sé si estoy en lo cierto o si me equivoco en algo, gracias.

La norma varía según la métrica. No importa que toda métrica en un espacio euclídeo de dimensión finita se pueda expresar en una base ortonormal mediante la matriz identidad \( G=I. \) Efectivamente, al hallar la norma de \( x \) en cada métrica mediante \( I, \) también variarán las coordenadas de \( x \) según la base ortonormal elegida para cada métrica.

Si te queda alguna duda puedes practicar con las métricas en \( \mathbb{R}^2 \):

          \( \langle x, y\rangle_1=x_1y_1+2x_2y_2,\quad \langle x, y\rangle_2=x_1y_1+3x_2y_2, \text{ siendo }x=(x_1,x_2)^t,\; y=(y_1,y_2)^t. \)

Unas bases ortonormales son respectivamente

          \( B_1=\left\{{(0,1),\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1)}\right\},\quad B_2=\left\{{(0,1),\frac{1}{\sqrt{3}}(0,1)}\right\}. \)

[chuky]

Pero puedes tener que distintas métricas se pueden ortonormalizar en ciertas bases (distintas para cada métrica) en la matriz identidad, y por tanto, te saldrá el cálculo de la norma de un mismo vector diferente en cada métrica, ¿Me equivoco?, ¿Depende entonces el cálculo de la norma de la métrica? Mi duda viene porque no estoy seguro de que realmente sean distintas métricas las que se pueden expresar en términos de una matriz identidad para una cierta base. Pero es que, si definimos métricas diferentes con matriz identidad en distintas bases para cada métrica, obtenemos resultados diferentes a la hora de calcular la norma, lo cual es debido a que son métricas distintas, o así lo entiendo ahora mismo.
no sé si estoy en lo cierto o si me equivoco en algo, gracias.

La norma varía según la métrica. No importa que toda métrica en un espacio euclídeo de dimensión finita se pueda expresar en una base ortonormal mediante la matriz identidad \( G=I. \) Efectivamente, al hallar la norma de \( x \) en cada métrica mediante \( I, \) también variarán las coordenadas de \( x \) según la base ortonormal elegida para cada métrica.

Si te queda alguna duda puedes practicar con las métricas en \( \mathbb{R}^2 \):

          \( \langle x, y\rangle_1=x_1y_1+2x_2y_2,\quad \langle x, y\rangle_2=x_1y_1+3x_2y_2, \text{ siendo }x=(x_1,x_2)^t,\; y=(y_1,y_2)^t. \)

Unas bases ortonormales son respectivamente

          \( B_1=\left\{{(0,1),\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1)}\right\},\quad B_2=\left\{{(0,1),\frac{1}{\sqrt{3}}(0,1)}\right\}. \)

Gracias por aclararme la duda