Hola
Me dan los siguientes sistemas dinámicos:
\( A(n+1)=\displaystyle\frac{A(n)+\mu}{1+A(n}; n\in{\mathbb{N}\cup{0}} ; \mu >0 \); donde \( A(0)=a_0 >0 \)
B(n+1)=rB(n)+b ; \( n\in{\mathbb{N}\cup{0}} \); B(0)=\( b_0 \)
Tengo que comprobar que B(n)=\( \displaystyle\frac{1}{A(n)+\sqrt[ ]{\mu}} \) es solución sabiendo que las variables de b dependen de las de a.
He intentado igualar la solución dada y la solución particular del segundo sistema, pero no llego a ningún sitio. ¿Alguna idea?
Entiendo que debes de comprobar que si \( A(n) \) es solución de la primera ecuación entonces:
\( B(n)=\dfrac{1}{A(n)+\sqrt{\mu}} \)
es solución de la segunda.
Observa que:
\( B(n+1)=\dfrac{1}{A(n+1)+\sqrt{\mu}}=\dfrac{1}{\dfrac{A(n)+\mu}{1+A(n)}+\sqrt{\mu}}=\ldots=\dfrac{1+A(n)}{(1+\sqrt{\mu})(A(n)+\sqrt{\mu})} \) (*)
Por otra parte:
\( rB(n)+b=\dfrac{r}{A(n)+\sqrt{\mu}} +b=\dfrac{r+A(n)b+\sqrt{\mu}b}{A(n)+\sqrt{\mu}} \) (**)
Igualando (*) y (**):
\( \dfrac{1+A(n)}{(1+\sqrt{\mu})(A(n)+\sqrt{\mu})}=\dfrac{r+A(n)b+\sqrt{\mu}b}{A(n)+\sqrt{\mu}} \)
\( 1+A(n)=(1+\sqrt{u})r+A(n)b(1+\sqrt{\mu})+\sqrt{\mu}b(1+\sqrt{\mu)} \)
Igualando coeficientes:
\( b(1+\sqrt{\mu})=1 \)
\( 1=(1+\sqrt{u})r+\sqrt{\mu}b(1+\sqrt{\mu)} \)
De donde:
\( \color{red}b\color{black}=\dfrac{1}{1+\sqrt{\mu}}\qquad r=\dfrac{1-\sqrt{\mu}}{1+\sqrt{\mu}} \)
Saludos.
CORREGIDO
