Hola
Como dice el_manco, no es un resultado como para hacerlo tú sin consultar nada. La referencia que te da está muy bien, pero únicamente trata el caso de las superfícies, donde todo es mucho más sencillo. Hacerlo en general es algo más complicado.
Hay varias formas de demostrar este resultado. Por ejemplo, se puede establecer que la homología singular y la simplicial coinciden, que diría que es lo más habitual en libros de texto modernos, o se puede demostrar directamente, que supongo que es lo que te interesa.
El problema principal que hay que tener en cuenta es que la homología simplicial es un funtor en la categoría de los complejos simpliciales y no en la categoría de espacios topológicos, a diferencia de otras teorías de homología como la homología singular (por eso ahora se trabaja por defecto con homología singular y la simplicial ya ha quedado algo superada). Esto quiere decir que a nivel de homología simplicial no puedes tratar directamente con aplicaciones contínuas de tu espacio \( X \), sino únicamente con aplicaciones simpliciales entre los complejos simpliciales. Por tanto la estrategia es dar un sentido a la aplicación inducida en los grupos de homología simplicial \( h_*:H_i(K) \longrightarrow H_i(L) \) por una aplicación contínua entre las realizaciones geométricas \( h:|K| \longrightarrow |L| \).
La idea entonces es usar el teorema de aproximación simplicial, que en este caso dice que cualquier aplicación contínua \( h:|K| \longrightarrow |L| \) es homótopa a una aplicación simplicial \( f:Bd^n K \longrightarrow L \) (donde \( Bd^n K \) representa una subdivisión baricéntrica iterada del complejo simplicial \( K \)). Como \( f \) sí es simplicial, te induce morfismos de grupos de homología simplicial: \( f_*:H_i(Bd^n(K)) \longrightarrow H_i(L) \). Además, considerando las aplicaciones simpliciales obvias \( i:K \longrightarrow Bd^n(K) \), podemos definir \( h_*:H_i(K) \longrightarrow H_i(L) \) como \( h_* = f_* \circ i_* \).
Ahora falta ver que de hecho \( h_* \) es independiente de la aproximación simplicial \( f \) elegida (que se hace como apuntas tú, viendo que los morfismos inducidos en homología por aproximaciones simpliciales de la misma aplicación contínua difieren en una homotopía en los complejos de cadenas), y que la aplicación \( i:K \longrightarrow Bd(K) \) induce un isomorfismo en los grupos de homología. Además, una vez hecho esto puedes comprobar que los \( h_* \) satisfacen las propiedades funtoriales (\( id_* = id \) y \( (f \circ g)_* = f_* \circ g_* \)) y de aquí deducir de la manera habitual que si \( h \) es homeomorfismo entonces \( h_* \) es un isomorfismo de grupos de homología (con inversa \( h^{-1}_* \)). Por supuesto, es en estas comprobaciones y en demostrar el teorema de aproximación simplicial (si no lo tienes ya demostrado) donde entra todo el trabajo técnico de la demostración.
Espero que este pequeño esquema te ayude a aclarar las ideas. Una vez tengas este esquema más o menos claro deberías ir a algún libro y leer todos los detalles. Por ejemplo, una referencia sencilla y con detalles para esto es el libro de Munkres "Elements of algebraic topology", capítulo 2.
Saludos
