[daniiy]

Hola, en un problema de aritmética modular me piden calcular los dos últimos dígitos de \( 3^{1492} \)

¿Qué tengo que hacer?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, en un problema de aritmética modular me piden calcular los dos últimos dígitos de \( 3^{1492} \)

¿Qué tengo que hacer?

Tienes que hallar \( 3^{1492} \) mod \( 100 \).

No sé muy bien que resultados has dado, para hacer esto de la manera más óptima posible. La clave es encontrar el entero más pequeño tal que \( 3^n \) mod \( 100 \) sea \( 1 \)

¿Has dado el pequeño Teorema de Fermay sus generalizaciones?.

En tu caso \( 3^{20}\equiv 1 \) mod \( 100 \).

Después ten en cuenta que:

\( 1492=74\cdot 20+12 \)

y así:

\( 3^{1492}\equiv (3^{20})^{74}\cdot 3^{12}\equiv 3^12 \)

Saludos.

[pierrot]

Hola, en un problema de aritmética modular me piden calcular los dos últimos dígitos de \( 3^{1492} \)

¿Qué tengo que hacer?

Hola. La idea es aplicar el teorema de Euler-Fermat: para \( a \) y \( n \) primos relativos, \( a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n} \). En este caso, \( 3^{\varphi(100)}\equiv 1\pmod{100} \), o sea, \( 3^{40}\equiv 1\pmod{100} \). Luego, puedes aplicar que:

\( 3^{1492}\equiv (3^{40})^{37}3^{12}\equiv 1\cdot 3^{12}\pmod{100} \)

Continúa.

Se me adelantó el_manco 

[daniiy]

Entiendo hasta donde habéis llegado, pero no se me ocurre cómo continuar...

[pierrot]

Entiendo hasta donde habéis llegado, pero no se me ocurre cómo continuar...

Pues \( 3^{12}=3^4(3^4)^2\equiv 81\cdot (81)^2\equiv 81\cdot (-19)^2\equiv 81\cdot 361\equiv 81\cdot 61\pmod{100} \)

[daniiy]

Y no se podría simplificar más la expresión de 81x61 (mod 100) ? , que, por cierto, cómo pasas de 361 a 61 ?

[pierrot]

Y no se podría simplificar más la expresión de 81x61 (mod 100) ?

Sí, hallas la multiplicación y te quedas con los dos últimos dígitos (o sea, el resto de dividir entre 100).

(...) , que, por cierto, cómo pasas de 361 a 61 ?

Lo mismo. 61 es el resto de dividir 361 entre 100.

[daniiy]

Mmmm..vale vale, que lío.

Muchas gracias, saludos!!!

[Luis Fuentes]

Hola

Mmmm..vale vale, que lío.

Muchas gracias, saludos!!!

Y no se podría simplificar más la expresión de 81x61 (mod 100) ? , que, por cierto, cómo pasas de 361 a 61 ?

Que te parezca un lío que módulo \( 100 \) sea lo mismo \( 361 \) que \( 61 \), es un grave problema. Perdona que sea pesado con esto. Pero es que hasta que eso no sea completamente claro, es más, intuitivo y cómodo, es imposible que avances en artimética modular.

Fíjate que la aritmética modular es una herramienta que bien entendida es especialmente útil, cómoda e inutitiva. Lo básico debería de hacerse muy familiar y nada enrevesado (independientemente de que cuando un profundice puedan aparercer cosas más difíciles).

Saludos.