[daniiy]

En una parte de un ejercicio piden demostrar que si una relación R en un conjunto A es reflexiva y circular \( (aRb y bRc \Rightarrow{cRa}) \), entonces la relación es simétrica y transitiva.
No entiendo cómo lo demuestra, dejo lo que copié, pero ya digo, entiendo por ejemplo el ejemplo anterior que me pusiste tu, pero esto no:
\( \forall{a}, aRa \rightarrow{aRa\wedge}aRc \Rightarrow{cRa}\rightarrow{R simétrica} \)
Al ser simétrica, \( aRb\wedge bRc \Rightarrow{cRa}\Rightarrow{aRc}\rightarrow{Transitiva} \)

Luego con otro ejercicio, me pasa algo parecido. Piden demostrar que Toda relacion reflexiva, simetrica y debilmente transitiva \( (aRb\wedge bRc \wedge cRd \Rightarrow{aRd}) \) es relación de equivalencia.
Entiendo que lo único que hay que demostrar, es simplemente su transitividad (ya que ya es reflexiva y simétrica)
Mi profesor simplemente lo justifica diciendo que al ser reflexiva \( \forall{a\in{A}}, aRa; aRc\wedge cRd\Rightarrow{aRd} \), y luego dibuja el grafo de la relación. Sé que, bueno, lo que acabo de escribir demuestra la transitividad, pero, de dónde saca eso? Si es de la definición de relación debilmente transitiva no lo entiendo, ya que hay 2 conjunciones en la definición, y aquí solo 1.

Quería también saber si está correcto este producto booleano entre matrices: \( \left[{\begin{array}{ccc}{1}&{a}&{1}\end{array}\right]\circ{}\left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{a}\\{1}\end{array}\right]= 1\vee a \vee 1 = 1 \)

Luego por último tengo varias dudas acerca de este ejercicio:


Tengo las soluciones de todos. Del apartado 2 no tengo ni idea de la solución. Se construye una función \( f(x) = x^2 - x \). Si v, w pertenecen a la misma clase de equivalencia deben satisfacer
\( v^2-w^2=(v-w)(v+w)=v-w \Rightarrow{}\begin{Bmatrix} v=w & \mbox{ }& \\v+w=1 & \mbox{}& \end{matrix} \)
y la clase de equivalencia es \( [n]_R = \left\{{n,1-n}\right\} \)

Respecto al apartado 3,4,5 entiendo todas las funciones que se construye, en el único sitio en el que me pierdo es al construir las clases de equivalencia. Por ejemplo, en el 4, pone \( [\sqrt[ ]{\alpha},0]_R \) si \( \alpha>0 \) y \( 0,\sqrt[ ]{-\alpha} \) si \( \alpha<0 \).  Entiendo que esto lo hace por que hace \( x^2-y^2=\alpha \) y da en la primera clase de equivalencia y=0 y en la segunda x=0 y a partir de ahí lo saca. Pero  no entiendo por qué motivo hace eso, por qué motivo son las únicas clases de equvialencia, no sé si me explico. Lo mismo me pasa con el 3 y el 5

Siento poner tantas dudas. Con estas se acaban mis dudad de este tema...
Gracias, saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 He separado tu pregunta en un nuevo hilo. Aunque siga siendo sobre relaciones de equivalencia, los hilos demasiado largos se terminan por hacer poco manejables. Además tus preguntas sobre el tema son independientes de otras cosas que habías planteado.

En una parte de un ejercicio piden demostrar que si una relación R en un conjunto A es reflexiva y circular \( (aRb y bRc \Rightarrow{cRa}) \), entonces la relación es simétrica y transitiva.
No entiendo cómo lo demuestra, dejo lo que copié, pero ya digo, entiendo por ejemplo el ejemplo anterior que me pusiste tu, pero esto no:
\( \forall{a}, aRa \rightarrow{aRa\wedge}aRc \Rightarrow{cRa}\rightarrow{R simétrica} \)

Simplemente está aplicando la propiedad de ser circular (que es cierta para cualesquiera \( a,b,c \)) para el caso particular en el que \( b=a \). Con eso prueba la simetría, ya que \( aRa \) se tiene siempre por reflexividad; si además \( aRc \) deduce que \( cRa \).

Al ser simétrica, \( aRb\wedge bRc \Rightarrow{cRa}\Rightarrow{aRc}\rightarrow{Transitiva} \)

¿Aquí alguna duda? Una vez probada la simetría, de la circularidad se obtiene la transitividad "dándole la vuelta" a la última relación por simetría.

Luego con otro ejercicio, me pasa algo parecido. Piden demostrar que Toda relacion reflexiva, simetrica y debilmente transitiva \( (aRb\wedge bRc \wedge cRd \Rightarrow{aRd}) \) es relación de equivalencia.
Entiendo que lo único que hay que demostrar, es simplemente su transitividad (ya que ya es reflexiva y simétrica)
Mi profesor simplemente lo justifica diciendo que al ser reflexiva \( \forall{a\in{A}}, aRa; aRc\wedge cRd\Rightarrow{aRd} \), y luego dibuja el grafo de la relación. Sé que, bueno, lo que acabo de escribir demuestra la transitividad, pero, de dónde saca eso? Si es de la definición de relación debilmente transitiva no lo entiendo, ya que hay 2 conjunciones en la definición, y aquí solo 1.

De nuevo simplemente aplica la propiedad de ser débilmente transitiva al caso particular en el que \( b=a. \) Eso unido a la reflexividad, da la transitividad directamente.

Quería también saber si está correcto este producto booleano entre matrices: \( \left[{\begin{array}{ccc}{1}&{a}&{1}\end{array}\right]\circ{}\left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{a}\\{1}\end{array}\right]= 1\vee a \vee 1 = 1 \)

Al final sería: \( 1\vee a \vee 1 = a \).

Tengo las soluciones de todos. Del apartado 2 no tengo ni idea de la solución. Se construye una función \( f(x) = x^2 - x \). Si v, w pertenecen a la misma clase de equivalencia deben satisfacer
\( v^2-w^2=(v-w)(v+w)=v-w \Rightarrow{}\begin{Bmatrix} v=w & \mbox{ }& \\v+w=1 & \mbox{}& \end{matrix} \)
y la clase de equivalencia es \( [n]_R = \left\{{n,1-n}\right\} \)

Ten en cuenta que la condición \( v^2-w^2=v-w \) es la misma que \( v^2-v=w^2-w \), de manera que dos elementos están relacionados si tienen la misma imagen por la función \( f(x)=x^2-x \).

Respecto al apartado 3,4,5 entiendo todas las funciones que se construye, en el único sitio en el que me pierdo es al construir las clases de equivalencia. Por ejemplo, en el 4, pone \( [\sqrt[ ]{\alpha},0]_R \) si \( \alpha>0 \) y \( 0,\sqrt[ ]{-\alpha} \) si \( \alpha<0 \).  Entiendo que esto lo hace por que hace \( x^2-y^2=\alpha \) y da en la primera clase de equivalencia y=0 y en la segunda x=0 y a partir de ahí lo saca. Pero  no entiendo por qué motivo hace eso, por qué motivo son las únicas clases de equvialencia, no sé si me explico. Lo mismo me pasa con el 3 y el 5

Te aclaro el (4) y piensa tu el resto. Dado que la relación identifica los pares de números que tienen la misma imagen por la función \( f(x,y)=x^2-y^2 \), hay tantas clases como valores distintos tiene esa función. Por tanto hay tantas clases como números relaes \( \alpha \). Ahora dado un \( \alpha \) para describir que clase representa hay que elegir un representante de esa clase, es decir, de todos los posibles pares de números \( (x,y) \) tales que x^2-y^2=\alpha (¡hay muchos!) quedarnos con uno.

Para complicarnos la vida lo menos posible si \( \alpha\geq 0 \) tomamos \( y=0 \) de donde \( x^2=\alpha \), y de ahí elegimos \( x=+\sqrt{\alpha}. \)

Si \( \alpha<0 \) tomamos \( x=0 \) de donde \( y^2=-\alpha \), y de ahí elegimos \( y=+\sqrt{-\alpha}. \)

Saludos.

[Fernando Revilla]

Siento poner tantas dudas.

También te puede ser útil: Relación de equivalencia, conjunto cociente. Los ejercicios 3 y 5 son dos que habías planteado.

[daniiy]

Hola

\( 1\vee a \vee 1 = a \) por qué? Eso sería si fueran conjunciones, ¿no? Pero al ser disyunciones, sería 1, ¿no?

Respecto al problema 11.10:
-En el apartado 2, queda entendido con vuestras aportaciones. Sin embargo, siguiendo el ejemplo de Fernando, en su apartado, al estar propuesto de una manera algo distinta a mi ejercicio, pone, al definir [a], que x pertenece a los reales. Y posteriormente, que a también pertenece a los reales. En mi ejercicio, en la solución, pone que a pertenece a los naturales, ¿por qué? ¿Y x a qué pertenecería?

Sin embargo, sigo sin dominar cómo calcular las clases de equivalencia. En el apartado 2 supe por la manera de resolverlo en forma de ecuación de la página de Fernando. Pero por ejemplo, en los últimos 3 ejercicios, no se puede hacer de esa manera (o eso creo). Por ejemplo, en el punto 4 que respondió el_manco, no entiendo cómo sabes que hay 2 clases de equivalencia, es decir, por qué razón separas alfa mayor o igual que cero, y alfa menor que cero...  Y en el apartado 3 y 5 pasa lo mismo.  En el 3 sustituye en mi solución x por 1, y en el 5, la y por 0, aunque en el 5 tampoco entiendo por qué \( x^2+y^2=\alpha^2 \) eleva alfa al cuadrado.

Saludos

[energy]

Para ver estos ejercicios yo siempre hacia ver que pasaba fijado por ejemplo un punto, entonces fijabas un a,b y por ejemplo creo que es en la última ver que es una suma de cuadrados igual a cte, entonces veias que un punto esta relacionado si pertenece a la circunferencia de ese radio, otros son una hiperbola y para el conjunto cociente el conjunto de clases, conjunto de hiperbolas, circunferencias...

[Luis Fuentes]

Hola

\( 1\vee a \vee 1 = a \) por qué? Eso sería si fueran conjunciones, ¿no? Pero al ser disyunciones, sería 1, ¿no?

Pero yo entiendo que \( \vee \) está denotando al operador unión, suma booleana en definitiva (que es lo más coherente en la interpretación booleana del producto matricial que has escrito). Entonces en general \( x\vee x=0 \).

Respecto al problema 11.10:
-En el apartado 2, queda entendido con vuestras aportaciones. Sin embargo, siguiendo el ejemplo de Fernando, en su apartado, al estar propuesto de una manera algo distinta a mi ejercicio, pone, al definir [a], que x pertenece a los reales. Y posteriormente, que a también pertenece a los reales. En mi ejercicio, en la solución, pone que a pertenece a los naturales, ¿por qué? ¿Y x a qué pertenecería?

Tienes que fijarte en que conjunto está definida tu relación. En el enunciado que te han dado en el apartado (2) el conjunto es \( V=Z \) (los enteros).

Sin embargo, sigo sin dominar cómo calcular las clases de equivalencia. En el apartado 2 supe por la manera de resolverlo en forma de ecuación de la página de Fernando. Pero por ejemplo, en los últimos 3 ejercicios, no se puede hacer de esa manera (o eso creo). Por ejemplo, en el punto 4 que respondió el_manco, no entiendo cómo sabes que hay 2 clases de equivalencia, es decir, por qué razón separas alfa mayor o igual que cero, y alfa menor que cero...  Y en el apartado 3 y 5 pasa lo mismo.  En el 3 sustituye en mi solución x por 1, y en el 5, la y por 0, aunque en el 5 tampoco entiendo por qué \( x^2+y^2=\alpha^2 \) eleva alfa al cuadrado.

Sinceramente me parece que te sigues fijando más en las fórmulas que en las ideas; te invito a que vuelvas a leer con mucha calma la explicación que expuse en mi anterior mensaje. No dije que hay dos clases de equivalencia. Dije que hay tantas clases de equivalencia como números reales, es decir, como posibles resultados de \( x^2-y^2 \). Esa distinción que hago después en el signo de \( \alpha \) es simplemente para escoger un representante lo más sencillo posible de cada clase: vuelve a leerlo.

En general tienes que distinguir el paso en el que se identifica el conjunto cociente, es decir cuantas clases distintas hay y luego el proceso que suele hacerse para elegir un representante de cada clase y así conseguir una buena descripción de las diferentes clases.

Una vez leído de nuevo con mucha calma la respuesta anterior, vuelve a preguntar las dudas que te surjan.

Saludos.

[daniiy]

Hola.

Para ver estos ejercicios yo siempre hacia ver que pasaba fijado por ejemplo un punto, entonces fijabas un a,b y por ejemplo creo que es en la última ver que es una suma de cuadrados igual a cte, entonces veias que un punto esta relacionado si pertenece a la circunferencia de ese radio, otros son una hiperbola y para el conjunto cociente el conjunto de clases, conjunto de hiperbolas, circunferencias...

Pero da igual que puntos fijar?

Pero yo entiendo que \( \vee \) está denotando al operador unión, suma booleana en definitiva (que es lo más coherente en la interpretación booleana del producto matricial que has escrito). Entonces en general \( x\vee x=0 \).

Pero, a puede valer 0 y 1 en el ejercicio, obviamente. Y a ver, si tu tienes 1 o lo que sea, siempre va a ser 1, ¿no? si a vale 0, 1 o 0 o 1 es 1, ¿no?
Sería, en nuestro ejercicio \( 1\vee (a\wedge a) \vee 1 = 1 \), creo...

Tienes que fijarte en que conjunto está definida tu relación. En el enunciado que te han dado en el apartado (2) el conjunto es \( V=Z \) (los enteros).

Ya....Pero, entonces por qué a pertenece a los naturales en la solución de mi profesor? No pertenecería tanto x como a a los enteros?

Sinceramente me parece que te sigues fijando más en las fórmulas que en las ideas; te invito a que vuelvas a leer con mucha calma la explicación que expuse en mi anterior mensaje. No dije que hay dos clases de equivalencia. Dije que hay tantas clases de equivalencia como números reales, es decir, como posibles resultados de \( x^2-y^2 \). Esa distinción que hago después en el signo de \( \alpha \) es simplemente para escoger un representante lo más sencillo posible de cada clase: vuelve a leerlo.

En general tienes que distinguir el paso en el que se identifica el conjunto cociente, es decir cuantas clases distintas hay y luego el proceso que suele hacerse para elegir un representante de cada clase y así conseguir una buena descripción de las diferentes clases.

Una vez leído de nuevo con mucha calma la respuesta anterior, vuelve a preguntar las dudas que te surjan.

Lo leí antes de postear la duda varias veces y he vuelto a hacerlo, y detenidamente. Sigo en las mismas.
-En el apartado 4, no entiendo por qué distingues dos alfas
Luego en los otros 2 que te propuse, no entiendo por qué fijan justo los puntos que puse en mi anterior mensaje. No podría haber fijado otros? Por ejemplo, en el 3, haber fijado x a 2?

[Luis Fuentes]

Hola

Pero, a puede valer 0 y 1 en el ejercicio, obviamente. Y a ver, si tu tienes 1 o lo que sea, siempre va a ser 1, ¿no? si a vale 0, 1 o 0 o 1 es 1, ¿no?
Sería, en nuestro ejercicio \( 1\vee (a\wedge a) \vee 1 = 1 \), creo...

Si; perdona estoy tonto. Estaba pensando en otra cosa. \( x\vee x=x  \) y \( x\vee 1=1 \). Olvida lo que dije.

Tienes que fijarte en que conjunto está definida tu relación. En el enunciado que te han dado en el apartado (2) el conjunto es \( V=Z \) (los enteros).

Ya....Pero, entonces por qué a pertenece a los naturales en la solución de mi profesor? No pertenecería tanto x como a a los enteros?

Se deduce que toda clase está forma por dos elementos \( \{n,1-n\} \) y podemos suponer que \( n \) siempre es entero positivo, porque si fuese negativo, entonces \( 1-n \) sería positivo y tomando \( n'=1-n>0 \) se tiene que \( \{n',1-n'\}=\{n,1-n\} \). Es decir si queremos enumerar las clases distintas, tenemos que ceñirnos a los \( n>0 \). Para verlo más claro puedes listar unos ejemplos:

\( \{3,1-3\}=\{2,-2\} \)
\( \{2,1-2\}=\{2,-1\} \)
\( \{1,1-1\}=\{1,0\} \)
\( \{0,1-0\}=\{0,1\}=\{1,0\} \) (¡repetido!)
\( \{-1,1-(-1)\}=\{-1,2\}=\{2,-1\} \) (¡repetido!)
\( \{-2,1-(-2)\}=\{-2,3\}=\{3,-2\} \) (¡repetido!)

Lo leí antes de postear la duda varias veces y he vuelto a hacerlo, y detenidamente. Sigo en las mismas.
-En el apartado 4, no entiendo por qué distingues dos alfas

Veamos antes de nada sería bueno que revisásemos que idea tienes sobre relaciones de equivalencia, sus clases y los representantes de cada clase.

Supón que en el estudiantado de tu universidad establecen la siguiente relación: dos alumnos están relacionados si tienen el mismo color de pelo.

Entonces casa clase de equivalencia está formado por todos los alumnos que tienen un mismo color de pelo.

El conjunto cociente será el conjunto de clases de equivalencia, estará formado por: el grupo de los rubios, de los castaños, de los morenos, de los pelirrojos...

Y ahora imagina que una industria de tintes quiere ver el efecto de un nuevo tinte sobre cada color de pelo; para ello basta que lo pruebe sobre un individuo de cada grupo. Para ello tiene que elegir un representante de cada individuo, de cada clase. Podría hacerlo al azar; pero por fijar un criterio objetivo y fácil de aplicar, decide que cada clase estará representada por el individuo de más edad de su grupo de color de pelo.

Entonces en nuestro ejercicio vimos que hay tantas clases como números reales. Dado \( \alpha\in R \) su clase está formada por todos los pares \( (x,y) \) tales que \( x^2-y^2=\alpha. \)

Ahora elijamos un representante de esa clase. ¿Qué nos sería muy cómodo? Pues por ejemplo (y esto es una elección, es subjetivo) que la segunda coordenada sea cero. Es decir tratemos de encontrar un representante de la clase de  \( \alpha \) de la forma \( (x,0) \); tiene que cumplirse que \( x^2-0^2=\alpha \). ¡Tate! sólo podemos escoger un \( x \) en esas condiciones si \( \alpha\geq 0 \) (en otro caso es imposible que \( x^2=\alpha \) ya que un cuadrado nunca es negativo).

¡Bien! Pues nos conformamos, para \( \alpha\geq 0 \) tomamos el representante \( (\sqrt{\alpha},0)  \).

¿Y qué hacemos cuando \( \alpha<0 \)? Vimos que no podemos aspirar a un representante con \( y=0 \). ¡Bueno pues intentemos buscar un representante con \( x=0 \)!.

Si has entendido la idea.. finaliza el argumento...
 

Luego en los otros 2 que te propuse, no entiendo por qué fijan justo los puntos que puse en mi anterior mensaje. No podría haber fijado otros? Por ejemplo, en el 3, haber fijado x a 2?

Aquí ya me he perdido: no se exactamente cuál es tu solución, cuál la de tu profesor y cuál es la duda exacta. Esto entronca con lo que te decía: demasiados problemas diferentes en un sólo hilo terminan haciéndose confusos. Preferiría que reformulases esta duda de nuevo (de manera autocontenida) en un nuevo hilo.

Saludos.

[daniiy]

Hola.

Vale, ya lo estoy empezando a ver, todo entendido.

Muchas gracias, saludos.