Bueno aunque nadie logró sacarlo os dejo la demostración por si a alguien le es de utilidad:
Tenemos que hacer uso de un lema que viene en la mayor parte de libros de procesos estocasticos:
Lema. Sea \( M_n \) una martingala y \( 0\leq{i}\leq{j}\leq{k}<n \) entonces: \( E\left[\left(M_{n}-M_{k}\right)\left(M_{j}-M_{i}\right)\right]=0 \)
Haciendo uso del lema vamos a probar que \( E\left(M_{n}-M_{0}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n}\left(M_{k}-M_{k-1}\right)^{2} \).
Demostración.
Desarrollando el cuadrado de la suma tenemos:
\( E\left(\sum_{k=1}^{n}M_{k}-M_{k-1}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n}E\left(M_{k}-M_{k-1}\right)^{2}+2\sum_{i\leq j<k\leq n}E\left[\left(M_{n}-M_{k}\right)\left(M_{j}-M_{i}\right)\right] \)
Pero el segundo sumando del lado izquierdo de esta expresión es 0 por el lema que hemos presentado anteriormente. Lo que completa la prueba.
Saludos
