[Somek]

Hola,
Se dice que un número de 6 cifras es "de la suerte" si la suma de las tres primeras cifras es igual que la suma de las tres últimas cifras. ¿Cuántos números "de la suerte" hay?
Mi hipótesis:
Sea el número:
\( a b c d e f \)
Las tres primeras cifras suman, como mucho, 27. Así, se trata de encontrar todas ternas de \( (d, e ,f) \) tales que:
\( d + e + f = 1 \)
\( d + e + f = 2 \)


\(  ...  \)


\( d + e + f = 27 \)
Las posibles soluciones de la ecuación \( d + e + f = i \) son  \( \displaystyle{i+2 \choose 2} \), esto lo sé, así pues, el número de soluciones que se me ocurren son:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^N \displaystyle{i+2 \choose 2} \), para N=27.
La suma anterior da (si no me he equivocado, que diría que no): 4059.
En cambio la solución propuesta es de: 55252. Mucha diferencia.
Pensando, he llegado a la conclusión de que, por ejemplo, \( a + b + c \) pueden sumar 15 de muchas maneras, maneras que no estoy teniendo en cuenta. Es decir, el número \( 3 3 9 d e f \) y el número \( 4 3 8 d e f \), cumplen que \( a + b + c = 15 \) y obviamente son números distintos, así que mi planteamiento no es correcto. Además, supongo que a no puede ser 0... En definitiva, que he hecho un planteamiento demasiado simple. La duda es.. ¿puedo modificarlo o añadir algún otro proceso y llegar a la respuesta correcta? ¿O hay que utilitzar otras estrategias? En dicho caso, si pudiesen facilitármela o al menos darme alguna pista, estaría agradecido. Estoy bloqueado.
Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
Se dice que un número de 6 cifras es "de la suerte" si la suma de las tres primeras cifras es igual que la suma de las tres últimas cifras. ¿Cuántos números "de la suerte" hay?

No has tenido en cuenta dos cosas:

1) Las cifras a lo sumo valen \( 9 \).
2) Por cada una de las posibles soluciones \( d+e+f=i \) las otras tres cifra \( a,b,c \) igualmente pueden tomar cualquiera de tales soluciones.

Entonces consideramos la ecuación:

\( d+e+f=i \) con \( 0\leq d,e,f\leq 9 \)   

Sea \( N(i) \) el número de soluciones de tal ecuación. La cantidad de números de la suerte será (con un matiz que indicaré al final):

\( \displaystyle\sum_{i=0}^{27}{}N(i)^2 \)

Para hallar \( N(i) \) por el principio de inclusión exclusión a las soluciones enteras no negativas de \( d+e+f=i  \) hemos de restarle aquellas en las que alguna variable vale más de \( 10 \) y restarle a su vez aquellas en las que dos valen más de \( 10 \). De ahí:

\( N(i)=\displaystyle\binom{i+2}{2}-3\displaystyle\binom{i+2-10}{2}+3\displaystyle\binom{i+2-20}{2} \)

entendiendo que \( \displaystyle\binom{n}{m}=0 \) si \( n<m \).

Si haces así las cuentas obtendrás la solución propuesta de \( 55252 \).

Ahora viene el matiz. Así hemos contado también los números que empiezan por cero; si realmente queremos números de tres cifras debemos de descartar las soluciones en las que \( d=a=0 \). Deberías de descontarlar. La cuenta es análoga a lo hecho anteriormente.

Saludos.