[ronalsebas]

Buenas, les vengo a pedir pistas sobre un problema que no he podido resolver y por el cual solicito ayuda. Es el siguiente.

Dos circunferencias de radio 4 son tangentes a la gráfica \( y^2=4x \) en el punto (1,2). Hallar las ecuaciones de las dos circunferencias.

Bueno, yo sé que primero hay que diferenciar implicitamente, (ya lo hice) luego con eso hallar la tangente de la curva en ese punto, y luego ahí comienza mi problema.... ¿qué tengo que usar?  Y la verdad es que mi problema reside (pienso yo) en como se halla el centro de una circunferencia a partir de su radio y un punto de la misma, que claro es (1,2)

De antemano, los mas sinceros agradecimientos a la persona que amablemente me ayude en este problema

[ingmarov]

Hola

Los centros de las circunferencias deben estar contenidas en la recta normal a la curva en el punto (1,2), a una distancia de 4 unidades ese punto.

¿Entiendes?

[ronalsebas]

Si... aver, la pendiente de la normal es -1, lo que no entiendo es, ambas circunferencias deben estar contenidas en la misma recta y el mismo punto, ¿podrias explicarme eso?

[ingmarov]

No, no estarán centradas en el mismo punto, sino en lados diferentes de la curva. Piensa en que si la curva es una carretera (y tú estás en ella cerca del punto de tangencia viéndolo) una de las circunferencias estará a la derecha y otra a la izquierda.

Te comparto la imagen:

[ronalsebas]

Ok... entonces alguna idea de por donde comenzar a hacer los cálculos, compañero

[ingmarov]

Como ya te he dicho encuentra la ecuación de la recta normal a la curva en el punto (1,2). Luego encuentra dos puntos que estén a una distancia de 4 unidades de este punto.

Otra forma es, luego de encontrar la recta normal, encuentra los puntos de cruce de esta recta con la circunferencia \( (x-1)^2+(y-2)^2=16 \)  Estos puntos de cruce serán los centros de las circunferencias que buscas.

[ronalsebas]

Ohhh gracias eres un Dios, no lo habia pensado de esa manera.... Gracias querido compañero

[ingmarov]

Me estás sobrevalorando, solo soy un hobbit, en este foro hay gigantes, ten cuidado..

Abdulai resolvió algo similar de la siguiente forma:

Si como dices la pendiente de la recta normal es -1, el ángulo que forma con la horizontal es 45 grados. Entonces usando trigonometría podemos encontrar lo puntos que serán os centro buscados. Si tenemos un triangulo rectángulo con 45 grados en los ángulos adyacentes a la hipotenusa cuya medida es 4, sus catetos medirán \( 2\sqrt{2} \) . Entonces los puntos buscados seran.

\( (1-2\sqrt{2},2+2\sqrt{2})  \)

y

\( (1+2\sqrt{2},2-2\sqrt{2})  \)

[Juan Pablo Sancho]

Parasitando descaradamente a ingmarov::

La recta perpendicular pedida es \(  y = -(x-1) + 2 = -x+3  \) los puntos de la recta también se pueden ver como \(  \{(x,-x+3) \in \mathbb{R}^2| x \in \mathbb{R}\}  \).

Entonces:

\(  4 = \| (x,-x+3) - (1,2)\| = \|(x-1,-x+1)\|  \), eleva al cuadrado y resuelve.

Spoiler

\( \displaystyle 2 \cdot (x-1)^2 = 16  \)

[cerrar]

Ingmarov te dió las soluciones.