\( a_n - 2a_{n-1}-a_{n-2} = 2^{n-2}, a_0 = 1, a_1 = 2 \)
Tras hacer cuentas, la función me queda:
\( F(x) = \displaystyle\frac{x^2-2x+1}{-(x+1-\sqrt[ ]{2})(x+1+\sqrt[ ]{2})(1-2x)} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}/2}{(-x-1+\sqrt[ ]{2}}+\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{2}/2}{(x+1+\sqrt[ ]{2}}+\displaystyle\frac{1}{1-2x} \), pero a partir de aquí no sé cómo sacar la solución, que según el solucionario es la siguiente:\( a_n = -2^n - \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}(1-\sqrt[ ]{2})^{n+1} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}(1+\sqrt[ ]{2})^{n+1} \)
Yo he intentado hacer lo siguiente:
\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \displaystyle\frac{1/(1-\sqrt[ ]{2})}{(\displaystyle\frac{x}{1-\sqrt[ ]{2}})+1} - (...) \), pero me he dado cuenta que no coincidiría con la solución, pero no lo entiendo ya que segun he ido comprobando con valores con la calculadora, tengo todos los pasos bien..
De esa manera llego a una solución así: \( a_n = \displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{2}}{2(1-\sqrt[ ]{2})(\sqrt[ ]{2}-1)^n} + \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2(1+\sqrt[ ]{2})(-1-\sqrt[ ]{2})^n} - 2^n \)
\( a_n = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2(\sqrt[ ]{2}-1)^{n+1}}-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2(-1-\sqrt[ ]{2})^{n+1}} - 2^n \)
Pero, esta solución, creo que es idéntica a la que viene en la solución, ya que he sustituido varios n en ambas soluciones y sale igual resultado. Así que...mi solución es 100% correcta?
