Hola
Hola, tengo otra duda sobre este tema. En mitad de un ejercicio acerca de este tema (creo que no hace falta poner el ejercicio entero para que podáis resolverme la duda), tengo:
\( x\displaystyle\sum_{m\geq{0}}{m^2x^m} \)
Y luego, ya me pierdo completamente en estos pasos:
\( x \displaystyle\frac{d}{dx} \displaystyle\sum_{m\geq{0}}{x^m} = \displaystyle\sum_{m\geq{0}}{m x^m} = x \displaystyle\frac{d}{dx} \displaystyle\frac{1}{1-x} = \displaystyle\frac{x}{(1-x)^2} \)
Por la fórmula de la suma de un serie geométrica sabes que:
\( \displaystyle\sum_{m\geq{0}}{x^m}=\dfrac{1}{1-x} \)
Si derivas a ambos lados (la serie término a término) te queda:
\( \displaystyle\sum_{m\geq{0}}m{x^{m-1}}=\dfrac{1}{(1-x)^2} \)
Multiplicando por \( x \) a ambos lados:
\( x\displaystyle\sum_{m\geq{0}}m{x^{m-1}}=\dfrac{x}{(1-x)^2} \)
\( \displaystyle\sum_{m\geq{0}}m{x^{m}}=\dfrac{x}{(1-x)^2} \)
\( x \displaystyle\frac{d}{dx} \displaystyle\sum_{m\geq{0}}{mx^m} = \displaystyle\sum_{m\geq{0}}{m^2 x^m} = x \displaystyle\frac{d}{dx} \displaystyle\frac{1}{(1-x)^2} = \displaystyle\frac{x(1+x)}{(1-x)^3} \)
Y que por lo tanto \( x\displaystyle\sum_{m\geq{0}}{m^2x^m}=\displaystyle\frac{x(1+x)}{(1-x)^3} \)
Partiendo de lo anterior:
\( \displaystyle\sum_{m\geq{0}}m{x^{m}}=\dfrac{x}{(1-x)^2} \)
si derivas a ambos lados con respecto de \( x \) te queda:
\( \displaystyle\sum_{m\geq{0}}m^2{x^{m-1}}=\dfrac{1+x}{(1-x)^3} \)
y multiplicando por \( x \):
\( x \displaystyle\sum_{m\geq{0}}m^2{x^{m-1}}=\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3} \)
\( \displaystyle\sum_{m\geq{0}}m^2{x^{m}}=\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3} \)
Saludos.
