Hola
Pero lo primero que pregunté (respecto a mi duda c), es respecto a la solución homogénea, no a la particular...
La homogéna asociada a la dada se obtiene eliminando el término donde no aparecen los \( a_{n-k}. \)
Es decir en tu caso:
\( S_n-S_{n-1}=0 \)
El polinomio característico de la ecuación es:
\( x-1=0 \)
su raíz es \( 1 \). Por tanto la solución general de la homogénea es:
\( S_n=(1)^n\cdot k=k \) para cualquier constante \( k \)
En cuanto a mi segunda duda que puse, veo la tabla, veo que sale que en caso de ser una n aparece An+b, pero sigo sin entender lo que me has escrito.
En la tabla si el término independiente es \( n \) entonces la solución particular es de la forma \( An+B \). Pero... ¡ojo! (no viene muy bien explicado) si alguno de esos términos de la solución particular lo es de la homogénea, entonces debe de multiplicarse por la menor potencia de \( n \) que soluciona el problema.
En nuestro caso dado que hemos visto que las constantes son solución de la homogéna \( B \) es solución de esa ecuación. Por tanto como candidato a solución particular tomamos \( s_n=n(An+B). \)
Susituyendo en la ecuación queda:
\( n(An+B)=(n-1)(A(n-1)+B)+n \)
simplificando:
\( An^2+Bn=An^2+(1-2A+B)n+A-B \)
De ahí:
\( B=1-2A+B \)
\( 0=A-B \)
Deducimos \( A=1/2 \) y \( B=1/2 \).
La solución general queda:
\( S_n=\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n+k \) para cualquier \( k \) constante
Si impones la condición inicial \( S_1=2 \) queda:
\( 2=\dfrac{1}{2}1^2+\dfrac{1}{2}+k \)
de donde \( k=1 \) y así la solución queda:
\( S_n=\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n+1 \)
Saludos.
