Hola, estoy leyendo un documento sobre la desigualdad de medias y pone que:
\( M_1\geq{(\frac{8}{9}M_0+\frac{1}{9}M_3)} \)
equivale a:
\( M_1\geq{(\frac{8}{9}M_0^3+\frac{1}{9}M_3^3)^{1/3}} \)
No veo por qué, ¿pueden escribir los pasos intermedios?
¡Gracias!
Toma \( M_0 = 3 \) , \( M_3 = 2 \) y \( M_1 = \frac{26}{9} \) tenemos:
\( \displaystyle \frac{8}{9}\cdot M_0 + \frac{1}{9}\cdot M_3 = \frac{8 \cdot 3 + 2}{9} = M_1 \)
\( \displaystyle (\frac{8}{9}\cdot M_0^3 + \frac{1}{9}\cdot M_3^3)^{\frac{1}{3}} = (\frac{8 \cdot 27 + 8}{9})^{\frac{1}{3}} = (\frac{224}{9})^{\frac{1}{3}} = 2.919...> M_1 = 2.88888... \)
También se puede ver como que las funciones \( f(x) = x \) y \( g(x) = x^3 \) son convexas en \( \mathbb{R}^+ \cup \{0\} \).
Donde \( \displaystyle \frac{1}{9} + \frac{8}{9} = 1 \) las desigualdades deben estar al revés.
