[Erasto]

¿Alguien puede explicarme el concepto de "Convergencia en probabilidad" según esta definición?:

"  Una secuencia de variables aleatorias, \(  Y_n  \), converge en probabilidad a una constante si para todo \( \in{}>0 \) ,
    
 \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P\left ( \left | Y_n-c \right | <\in \right ) }=1 \)  "

Gracias y un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

¿Alguien puede explicarme el concepto de "Convergencia en probabilidad" según esta definición?:

"  Una secuencia de variables aleatorias, \(  Y_n  \), converge en probabilidad a una constante si para todo \( \in{}>0 \) ,
    
 \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P\left ( \left | Y_n-c \right | <\in \right ) }=1 \)  "

Gracias y un saludo!

Lo que está diciendo es que para \( n \) suficientemente alto, las variables \( Y_n \) concentran su probabilidad tan cerca de \( c \) como queramos.

Saludos.

[Erasto]

Vale, lo entiendo...pero no sería más correcto así?:

 \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P\left ( \left | Y_n-c \right | =0 \right ) }=1 \) 

Es decir, que cuando n tendiese a infinito la probabilidad de que no hubiese diferencia entre  \( Y_n \) y \( c \) fuese 1?

[Luis Fuentes]

Hola

Vale, lo entiendo...pero no sería más correcto así?:

 \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{P\left ( \left | Y_n-c \right | =0 \right ) }=1 \) 

Es decir, que cuando n tendiese a infinito la probabilidad de que no hubiese diferencia entre  \( Y_n \) y \( c \) fuese 1?

Esa sería una condición mucho más exigente.

Por ejemplo si consideras la siguiente sucesión \( \{Y_n\} \) de variables aleatorias discretas con:

\( P(Y_n=0)=P(Y_n=1/n)=1/2 \)

Con la definición original convergen en probabilidad a cero. Pero con la tuya sin embargo no convergerían.

Intutitivamente las variables reparten la probabilidad entre el punto \( 0 \) y el punto \( 1/n \). A medida que crece n la probabilidad se concentra cada vez más entorno al cero.

Saludos.