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Buenas noches amigos del foro:

Recién empecé a estudiar radicación y bueno, he estado haciendo ejercicios y hay unos de cuya solución no tengo certeza, como éste:

\( \displaystyle\frac{2}{3}\sqrt[5]{\displaystyle\frac{32x^2y^{11}}{243z}} \)

Primero descompuse los coeficientes del numerador y del denominador, luego saqué la raíz y me quedo así:

\( (\displaystyle\frac{2}{3})(\displaystyle\frac{2}{3})y^2\sqrt[5]{\displaystyle\frac{x^2y}{z}} \)

Luego, multipliqué numerador y denominador por \( z^4 \) con el fin de poder sacar el denominador y me quedó así:
\(
\displaystyle\frac{4y^2}{9z}\sqrt[5]{x^2yz^4} \)

¿Está bien lo que hice? ¿No hay nada bien? 

Gracias por su ayuda. 

[Juan Pablo Sancho]

Yo lo veo bien.

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Yo lo veo bien.

Hola Juan Pablo:

El denominador debe quedar sin radicales, es decir, debe ser racional ¿no es así?

Todo lo estoy sacando del Álgebra de Baldor, un buen libro. 

[Juan Pablo Sancho]

El denominador debe quedar sin radicales, es decir, debe ser racional ¿no es así?

Si. ( simplemente dejarlo sin radicales)

Te puede servir:

https://www.google.es/url?q=http://es.wikipedia.org/wiki/Racionalizaci%25C3%25B3n_de_radicales&sa=U&ei=KlcCVZ2ZBpLeaqu-gqAB&ved=0CDEQFjAF&usg=AFQjCNGfqS9SFo4N4m1RySKqGqXg4JQedw

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Hola:

Tengo uno más:

\( \sqrt[ ]{(105a^9b^8)^\displaystyle\frac{1}{2}} \)

Me queda así:

\( a^2b^2\sqrt[ ]{(105a)^\displaystyle\frac{1}{2}} \)

No sé qué más hacer ¿me echan una mano, por favor?

Gracias nuevamente.

[Juan Pablo Sancho]

Ten en cuenta que \( \displaystyle \sqrt{(105 \cdot a^9 \cdot b^8)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[4]{105 \cdot a^9 \cdot b^8}  \)

\( \displaystyle \sqrt[4]{105 \cdot a^9 \cdot b^8} = \sqrt[4]{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot a^8 \cdot a \cdot b^8}  \)

Lo tienes bien.

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Ten en cuenta que \( \displaystyle \sqrt{(105 \cdot a^9 \cdot b^8)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[4]{105 \cdot a^9 \cdot b^8}  \)

\( \displaystyle \sqrt[4]{105 \cdot a^9 \cdot b^8} = \sqrt[4]{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot a^8 \cdot a \cdot b^8}  \)

Lo tienes bien.

Hola Juan Pablo:

¿Entonces ahí termina el ejercicio?
Descompuse el 105 pero no veo forma de simplificarlo, pero siempre resulta algo que nunca me imagino.

Gracias por tu ayuda, Juan Pablo.

[Juan Pablo Sancho]

Si ahí termina.

\( \displaystyle \sqrt[4]{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot a^8 \cdot a \cdot b^8} = a^2 \cdot b^2 \cdot \sqrt{(105 \cdot a)^{\frac{1}{2}}} = a^2 \cdot b^2 \cdot \sqrt[4]{ 105 \cdot a }  \)

Como \(  105 = 3 \cdot 5 \cdot 7  \) y \(  3,7,5  \) no está elevado a potencias más grandes o iguales que 4 no se hace nada.

Saludos.

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Hola, otra cosa más y no vuelvo a molestar por hoy 

Tengo ésto:

\( \sqrt[3]{-\displaystyle\frac{64a^3}{27b^9}} \)

¿Cómo puedo resolver este ejercicio?

Digo, el negativo cambia las cosas, pues si fuera positivo sería \( \displaystyle\frac{4a}{3b^3} \) pero sé que no es lo mismo en este caso.

[Juan Pablo Sancho]

\( \displaystyle \sqrt[3]{-\frac{64 \cdot a^3}{27 \cdot b^9}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{\frac{64 \cdot a^3}{27 \cdot b^9}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{\frac{4^3 \cdot a^3}{3^3 \cdot (b^3)^3}}  \)

Spoiler

\(  \sqrt[3]{-1} = \alpha  \) donde \( \alpha  \) es un número que si se multiplica por el tres veces debe dar \(  - 1  \)

Prueba con \(  \alpha = -1 \).

No estás en la raíz cuadrada que no admite valores negativos, la ríaz cúbica si.

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