Hola a tod@s,
soy nuevo en el foro y lo primero me gustaría felicitaros por hacerlo posible y de esa manera proporcionar tanta ayuda a los que queremos aclarar dudas y aprender materias tan profundas como las matemáticas.
En mi caso, actualmente estoy estudiando a fondo geometría diferencial sobre variedades pseudoriemannianas y con torsión, pero tengo algunas dudas fundamentales que no me permiten entender el asunto completamente. Una de ellas es el concepto mismo de torsión que se emplea en dicho estudio sobre variedades definidas en varias dimensiones; por ejemplo, hasta donde creo entender, dada una curva sobre un espacio M de dimensión arbitraria, ésta puede describirse mediante un recorrido o parametrización \( \overrightarrow{f}:t \in I \rightarrow \overrightarrow{f} (t) \in M \) o también mediante las ecuaciones de Frenet-Serret definiendo su curvatura y torsión a partir del vector tangente, normal y binormal. En ese sentido, una torsión de la curva no nula indicaría que el vector tangente y normal de la misma no generan un plano que contenga a toda la curva sino que el vector binormal cambia. Una propiedad a tener en cuenta en esta descripción, si no me equivoco, es que podemos tener curvas de torsión nula y curvatura distinta de cero pero no al revés (aunque tengo dudas de si esto sucede sólo en el caso de geometría sobre espacios planos o es un resultado general para curvas pertenecientes a cualquier tipo de espacio).
Sin embargo, en lo referente a este tema, al estudiar variedades diferenciables lo primero que sucede, si no me equivoco, es que el concepto de curvatura de una curva se generaliza al de curvatura de la propia variedad y para eso se utiliza la definición de curvatura de Riemann, que en ausencia de torsión puede introducirse mediante la siguiente fórmula:
\( [\nabla_{\mu},\nabla_{\nu}]v^{\lambda}=R^{\lambda}_{\,\,\,\,\,\rho \mu \nu}v^{\rho} \)
donde \( \nabla_{\mu} \) es la derivada covariante asociada a la variedad y \( R^{\lambda}_{\,\,\,\,\,\rho \mu \nu} \) las componentes de la curvatura, que en este caso es un tensor.
De la misma forma, se puede introducir una torsión sobre la variedad (cambiando la conexión y por tanto la expresión de la derivada covariante) y la fórmula anterior quedaría:
\( [\tilde{\nabla}_{\mu},\tilde{\nabla}_{\nu}]v^{\lambda}=\tilde{R}^{\lambda}_{\,\,\,\,\,\rho \mu \nu}v^{\rho}+T^{\rho}_{\,\,\,\,\mu \nu}\tilde{\nabla}_{\rho}v^{\lambda} \)
donde \( T^{\rho}_{\,\,\,\,\mu \nu} \) son las componentes de la torsión, que igualmente es un tensor.
A diferencia del caso anterior, si no me equivoco, una cosa muy importante es que existen espacios planos (con curvatura nula) pero con torsión diferente de cero. Con todo esto, no termino de entender completamente el tema; por ejemplo, me cuesta visualizar espacios que tengan torsión, cómo la torsión influye sobre la geometría del espacio (gráficamente hablando). En el caso de curvas, por ejemplo, puedo visualizar que una circunferencia no posee torsión, mientras que una curva helicoidal sí que la tiene y eso me ayuda a entender mejor dicho caso. En ese sentido, supongo que las geodésicas definidas sobre un espacio con curvatura y torsión heredan asimismo esta última propiedad y sufren dicho efecto (aunque se me ocurre el caso en que tengamos un espacio con curvatura nula y torsión diferente de cero y me pregunto qué pasaría con las curvas en dicho caso, si a diferencia del caso que estudiaron Frenet y Serret podría haber curvas con curvatura nula y torsión diferente de cero por tratarse de espacios distintos o no). Así que, en general, me gustaría entender la parte fundamental en lo que se refiere a la variedad y no sólo a las curvas y geodésicas que pueden definirse sobre la misma.
Espero haberlo explicado todo bien y si me he equivocado en algo o saltado alguna cosa pido disculpas por anticipado.
Un saludo y gracias.
