Hola
Hola, disculpad no logro plantear el siguiente problema. Es de cadenas de Markov y busco encontrar la matriz de probabilidades de transición:
Se distibuyen tres bolas blancas y tres bolas negras entre dos urnas, de manera que cada urna contiene tres bolas. En cada iteración se extrae una bola de cada urna y se pasa a la otra urna. Sea \( X_n \) el número de bolas blancas en una de las urnas tras \( n \) iteraciones.
Gracias de antemano por vuestras aportaciones.
La matriz tiene términos con \( p_{ij}=P(X_n=j|X_{n-1}=i) \).
Entonces si \( i=0 \), es decir si hay cero bolas blancas en la urna (por tanto todas negras y las blancas en la otra) al sacar una bola y meter otra de la segunda urna necesariamente pasará a haber una bola blanca, es decir:
\( p_{01}=1 \) y \( p_{00}=p_{02}=p_{03}=0 \)
Si \( i=1 \), es decir, hay una bola blanca en la urna y dos negras. Tenemos:
- Quedaran cero blancas si sacamos la blanca y metemos una negra. Esto ocurre con probabilidad \( \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9} \) (el primer \( 1/3 \) es la probabildia de sacar la blanca y el segundo de meter la negra).
- Quedarán una blancas si sacamos la blanca y metemos una blanca o si sacamos una negra y metemos una negra. Esto ocurre con probabilidad \( \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{9} \).
- Quedarán dos blancas si sacamos una negra y metemos una blanca. Esto ocurre con probabilidad \( \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9} \).
Por tanto:
\( p_{10}=\dfrac{1}{9},\quad p_{11}=p_{12}=\dfrac{4}{9},\quad p_{13}=0 \)
Las dos primeras filas de tu matriz son:
\( \begin{pmatrix}{0}&{1}&{0}&{0}\\{1/9}&{4/9}&{4/9}&{0}\\{*}&{*}&{*}&{*}\\{*}&{*}&{*}&{*}\end{pmatrix} \)
Continúa...
Saludos.
