Hola
¿Cómo puedo probar si son conexos:
● A: las circunferencias de centro \( (0,0) \) y radio \( 1/n \)?
● B: las barras de la forma: \( \{1/n\} × [0,1] \) ?
Sea \( C \) la barra de la forma: \( {0} × [0,1] \) ,
● D: la unión de los tres conjuntos anteriores?
¿Qué has intentado?. En primer lugar deberías de tener una idea intuitiva de si son o no conexo.
Claramente A y B no son conexos, porque, si los dibujas, están claramente subdividios en varios "trozos" disjuntos y sin puntos de la clausura en común.
Formalmente A no es conexo porque puede serparase, por ejemplo, por los abiertos disjuntos de intersección no nula con A:
\( U=\{(x,y)\in R^2|x^2+y^2>0.6^2\},\qquad V=\{(x,y)\in R^2|x^2+y^2<0.6^2\} \)
De manera análoga prueba que B no es conexo.
El conjunto C es un segmeno: es conexo. Formalmente es la imagen continua de un conexo por la aplicación:
\( f:[0,1]\longrightarrow R^2,\qquad f(t)=(0,t) \)
El conjunto \( A\cup B \) es conexo, porque todos los segmentos de B cortan a la circunferencia de radio uno y cualquier circunferencia de A puede unirse con otra a través de uno de estos segmentos. Por otra parte el segmento C está en la clausra de B y así A\cup B\cup C sigue siendo conexo.
Saludos.
