Hola
Alguien puede ayudarme con estas dos demostraciones, al menos decirme una idea de como comenzar jejeje.
1. Se considera una elipse de focos F y G. Sea P un punto de la elipse. Demuestra que la normal a la elipse en el punto P es la bisectriz del ángulo FPG.
Sin pérdida de generalidad se puede considerar la elipse de cuación:
\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,\qquad a\geq b \)
Los focos son los puntos \( F=(-c,0) \) y \( G=(c,0) \), con \( c=\sqrt{a^2-b^2} \).
Ahora dado un punto \( P=(x_0,y_0) \) de la cónica el vector normal (derivando la ecuación implícta de la elipse) tiene la dirección de:
\( u=(x_0/a^2,y_0/b^2) \)
Tienes que comprobar que el ángulo que forma este vector con \( FP \) y \( GP \) es el mismo; equivalentemente que:
\( \dfrac{|u\cdot FP|}{\|u\|\|FP\|}=\dfrac{|u\cdot GP|}{\|u\|\|GP\|} \)
\( \dfrac{|u\cdot FP|}{\|FP\|}=\dfrac{|u\cdot GP|}{\|GP\|} \)
Nota que:
\( FP=(x_0+c,y_0) \)
y así:
\( u\cdot PF=\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{x_0c}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1+\dfrac{x_0c}{a^2} \)
y análogamente:
\( u\cdot PG=1-\dfrac{x_0c}{a^2} \)
Termina...
2. Dada una cónica C de directriz l, foco F y excentricidad a<1; esta cónica es una elipse. Demuestra que F es uno de los dos focos de la elipse C.
Para que el problema tenga sentido tienes que aclarar que definición de foco te han dado o tienes que utilizar para hacer la comprobación que pedida; tal como está enunciado parte de la hipótesis es que F es el foco, entonces lo que te piden "probar" ya lo sabes de antemano.
Saludos.
