[avmath]

Hola tengo un problema con esto:

    \( A \): Conjunto formado por los números pares.

    \( B \): Conjunto formado por los múltiplos de 3.

    \( C \): Conjunto formado por los múltiplos de 5.

Sabemos que \( A\cap B=\left\{ n:n=6q,\, q\in\mathbb{Z}\right\} \)

Utilizando la igualdad \( A\cap B\cap C=\left\{ n:n=30q,\: q\in\mathbb{Z}\right\}  \), probar que:\( \left(A\cap B\right)\backslash C=\left\{ n:n=30q+r,\: q\in\mathbb{Z}\text{ y }r\in\left(A\cap B\right)\backslash C\right\}  \)

Sabemos que:

\( \begin{array}{lcr}
\,\quad (A\cap B)\backslash(A\cap B\cap C) & =\\
=(A\cap B)\cap(A\cap B\cap C)^{c} & = & \\
=(A\cap B)\cap(A^{c}\cup B^{c}\cup C^{c}) & = & \\
=\left(A^{c}\cap A\cap B\right)\cup\left(B^{c}\cap A\cap B\right)\cup\left(C^{c}\cap A\cap B\right) & = & \\
=\left(\varnothing\cap B\right)\cup\left(\varnothing\cap A\right)\cup\left(C^{c}\cap A\cap B\right) & = &\\
=\left(C^{c}\cap A\cap B\right) & = & \\
=\left(A\cap B\right)\backslash C &   \\
\end{array} \)

Entonces para demostrarlo en un sentido hago(no sé si está bien, creo que no):

\( \begin{array}{rllr}
a\in(A\cap B)\cap(A\cap B\cap C)^{c} & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{ccc}
a & = & 6q_{1}\\
 & \wedge\\
a & \neq & 30q_{2}
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl}
a & = & 6q_{1}\\
 & \wedge\\
a & = & 30q_{2}+r\quad0\leq r<30
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & q_{1}=30q_{3}+r_{1}\quad0\leq r_{1}<30\\
 & \Longrightarrow & q_{2}=6q_{4}+r_{2}\quad0\leq r_{2}<6\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl}
a & = & 180q_{3}+6r_{1}\\
 & \wedge\\
a & = & 180q_{4}+30r_{2}+r\quad0\leq r<30
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl}
a & = & 30q_{5}+6r_{1}\\
 & \wedge\\
a & = & 30q_{6}+30r_{2}+r\quad0\leq r<30
\end{array}\right. & \left\{ \text{Tomando \ensuremath{q_{5}=6q_{3}}y \ensuremath{q_{6}=6q_{4}}}\right\} \\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{ccl}
a & = & 30q_{5}+6r_{1}\\
 & \wedge\\
a & = & 30q_{6}+r_{3}
\end{array}\right. & \left\{ \text{Tomando \ensuremath{r_{3}=30r_{2}+r}}\right\}
\end{array}
  \)

Aquí vemos que por el Teorema de unicidad de cociente y resto, los restos serán los que sean múltiplos de 6 y no de 30, es decir con \( r_{3}\in\left(A\cap B\right)\backslash C \) por tanto tenemos:

\( \left(A\cap B\right)\backslash C\subseteq\left\{ n:n=30q+r,\: q\in\mathbb{Z}\text{ y }r\in\left(A\cap B\right)\backslash C\right\}
  \)

Pero para demostrarlo en el otro creo que la lío al dividir un resto por 6... Aquí lo tenéis:

\( \begin{array}{rllr}
a\in\left\{ n:n=30q+r,\: q\in\mathbb{Z}\text{ y }r\in\left(A\cap B\right)\backslash C\right\}  & \Longrightarrow & a=30q+r & r=30q_{1}+r_{1}\quad0\leq r_{1}<30\\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{cll}
a &  & \text{\text{no es multiplo de 30}}\\
 & \wedge\\
a & = & 30q_{2}+6r_{2}\quad0\leq r_{2}<6
\end{array}\right. & \left\{ \text{Tomando }r_{2}=\frac{r_{1}}{6}\right\} \\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{cll}
a &  & \text{\text{no es multiplo de 30}}\\
 & \wedge\\
a & = & 6\left(q_{2}+r_{2}\right)\quad0\leq r_{2}<6
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{lcl}
a &  & \text{\text{no es múltiplo de 30}}\\
 & \wedge\\
a &  & \text{es múltiplo de 6}
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & \left\{ \begin{array}{lcl}
a\in\left(A\cap B\cap C\right)^{c} &  & \text{}\\
\wedge\\
a\in\left(A\cap B\right)
\end{array}\right.\\
\\
 & \Longrightarrow & a\in(A\cap B)\cap(A\cap B\cap C)^{c}
\end{array}
  \)

 

[luis]

encuentro cierta confusión cuando introducís \( q_1 \) y \( q_2 \). decís que ...

* como \( a \in A \cap B \), existe algún \( q_1 \) que cumple \( a = 6 q_1 \), y que
* como \( a \not \in A \cap B \cap C \), no hay ningún \( q_2 \) que cumple \( a = 30 q_2 \).

si bien en la línea siguiente ya te confundís, afirmando que \( 0 \leq r < 30 \), cuando entiendo debería ir \( 0 < r < 30 \), me parece que las dificultades más importantes vienen de que pensás que \( q_2 \) habla de un número cuando habla de la inexistencia de un número con cierta propiedad.

[avmath]

encuentro cierta confusión cuando introducís \( q_1 \) y \( q_2 \). decís que ...

* como \( a \in A \cap B \), existe algún \( q_1 \) que cumple \( a = 6 q_1 \), y que
* como \( a \not \in A \cap B \cap C \), no hay ningún \( q_2 \) que cumple \( a = 30 q_2 \).

si bien en la línea siguiente ya te confundís, afirmando que \( 0 \leq r < 30 \), cuando entiendo debería ir \( 0 < r < 30 \), me parece que las dificultades más importantes vienen de que pensás que \( q_2 \) habla de un número cuando habla de la inexistencia de un número con cierta propiedad.

Tienes toda la razón ya que si \( r=0 \) , \( a \) sería múltiplo de 30 cosa que contradice la hipótesis de partida, pero sigo sin tener ni idea de como resolver el problema.

Muchas gracias

[luis]

creo que es más sencillo si escribimos lo que querés probar un poco diferente:

tu quieres probar dos cosas:
* que si a es un múltiplo de seis que no es múltiplo de cinco, entonces lo puedes escribir de la forma 30 q + r usando un r que es múltiplo de seis pero que no es múltiplo de cinco, y que
* si r es un múltiplo de seis que no es múltiplo de cinco, entonces los números de la forma 30 q + r son múltiplos de seis y no son múltiplos de cinco.

¿lo puedes ver mejor?

[avmath]

creo que es más sencillo si escribimos lo que querés probar un poco diferente:

tu quieres probar dos cosas:
* que si a es un múltiplo de seis que no es múltiplo de cinco, entonces lo puedes escribir de la forma 30 q + r usando un r que es múltiplo de seis pero que no es múltiplo de cinco, y que
* si r es un múltiplo de seis que no es múltiplo de cinco, entonces los números de la forma 30 q + r son múltiplos de seis y no son múltiplos de cinco.

¿lo puedes ver mejor?

Sí Luis, con tu ejemplo lo veo perfectamente, ya me hice un ejemplo parecido pues sé que la forma que saldrá es:

\( \left\{ \begin{array}{ccc}
a & = & 6q+6\\
 & \wedge\\
a & = & 6q+12\\
 & \wedge\\
a & = & 6q+18\\
 & \wedge\\
a & = & 6q+24
\end{array}\right. \)

Ahí se ve claro como los restos no son múltiplos de 5 y si lo son de 6. Pero claro el problema realmente es como expreso lo que dice en el enunciado, es decir que:

\( \left(A\cap B\right)\backslash C=\left\{ n:n=30q+r,\: q\in\mathbb{Z}\text{ y }r\in\left(A\cap B\right)\backslash C\right\}  \)

Lo del resto no lo veo claro.

[luis]

la verdad, no entiendo mucho porque tomas esas cuatro igualdades.

pero si vuelvo a tu planteo original, me parece que se puede recortar de la forma siguiente (para el directo)

1. \( a\in(A\cap B)\cap(A\cap B\cap C)^{c} \)
2. por 1, \( a \) es múltiplo de seis
3. por 1, \( a \) no es múltiplo de cinco
4. divido a entre treinta, y lo escribo como \( a = 30q_{2}+r \), con \( 0\leq r<30 \)
5. como \( a \) y treinta son múltiplos de seis, \( r \) es múltiplo de seis
6. como \( a \) no es múltiplo de cinco, pero treinta sí lo es, \( r \) no es múltiplo de cinco
7. luego, \( r \in (A\cap B)\setminus C \)
8. chimpunfuera

el recíproco te lo dejo a tí.