Hola
Algunas pequeñas correcciones:
Te pongo lo que pienso:
Sea \( $ \cup_{i \in I} A_i $ \) un recubrimeinto por abiertos de \( $ Y $ \).
Por ser sobreyectiva tenemos \( $ X \subset \cup_{i \in I} f^{-1}(A_i) $ \).
No hace falta que sea sobreyectiva para que se cumpla esa inclusión.
Por ser continua tenemos que \( $ f^{-1}(A_i) $ \) es un abierto respecto de X.
Correcto. Por tanto tendremos un recubirimiento por abiertos de \( X \), del cuál por compacidad de \( X \) podemos extraer un subrecubirimiento finito. Donde se usa la sobreyectividad es ahora: por ser sobreyectiva \( ff^{-1}(A_i)=A_i \) y \( f(X)=Y \); eso permite a su vez tener un subrecubrimiento finito de la imagen.
Escribiendo: completa los detalles.
Es un detalle menor, pero algunos autores como Engelking piden en la definición de compacto que el espacio sea Hausdorff. No es difícil ver que imagen continua de un Hausdorff también lo es.
Es cierto que algunos autores exigen además el ser Hausdorff en la definción de compacidad (reservando el término quasicompacto cuando se elimina esa exigencia).
Sin embargo, ojo, no es cierto que la imagen continua de un Hasusdorff sera un Hausdorff.
Por ejemplo si \( X=\{0,1\} \) con la topología discreta e \( Y=\{0,1\} \) con la topología trivial, entonces \( f:X\longrightarrow{}Y, f(x)=x \) es continua y biyectiva; sin embargo \( X \) es Hausdorff pero \( Y \) no.
Saludos.
