Hola, tengo un problema con esto que creo que no sé resolver bien:
Se tiene que:
\( n_1\mathfrak{R}_1 n_2 \Longleftrightarrow \) Si \( n_1-n_2 \) es un múltiplo de \( m \) y éste es un entero positivo.
\( n_1\mathfrak{R}_2 n_2 \Longleftrightarrow \) Si \( n_1 \) y \( n_2 \) dan el mismo resto al dividirlos por \( m \).
Probar que ambas relaciones son iguales. Sabemos que ambas relaciones son binarias así que por eso no hay problema. Lo que tengo que demostrar es que son conjuntos de n-tuplas ordenadas iguales.
Yo lo que hago es:
\( \begin{array}{cclc}
n_{1}\mathfrak{R}_{1}n_{2} & \Longleftrightarrow & n_{1}-n_{2}=mq_{1}\quad q_{1}\in\mathbb{Z}\\
& \Longleftrightarrow & \begin{cases}
n_{1}-n_{2}=mq_{1}\\
n_{1}=mq_{2}+r_{1} & ,q_{2}\in\mathbb{Z}\wedge0\leq r_{1}<m\\
n_{2}=mq_{3}+r_{2} & ,q_{3}\in\mathbb{Z}\wedge0\leq r_{2}<m
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow & \begin{cases}
n_{1}-n_{2}=mq_{1}\\
n_{1}-n_{2}=mq_{2}+r_{1}-mq_{3}-r_{2}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow & mq_{1}=m\left(q_{2}-q_{3}\right)+r_{1}-r_{2}\\
& \Longleftrightarrow & \begin{cases}
q_{1}=q_{2}-q_{3}\\
r_{1}-r_{2}=0
\end{cases} & \{Teorema\, de\, unicidad\, de\, cociente\, y\, resto\}\\
& \Longleftrightarrow & r_{1}=r_{2}\\
& \Longleftrightarrow & n_{1}\mathfrak{R}_{2}n_{2}
\end{array}
\)
Con lo que verifico que las tuplas ordenadas de la primera relación están en la segunda:
\( \mathfrak{R}_1\subseteq{\mathfrak{R}_2} \)
Si lo hago partiendo de la segunda relación:
\( \begin{array}{cclc}
n_{1}\mathfrak{R}_{2}n_{2} & \Longleftrightarrow & \begin{cases}
n_{1}=mq_{2}+r & ,q_{2}\in\mathbb{Z}\\
n_{2}=mq_{3}+r & ,q_{3}\in\mathbb{Z}
\end{cases}\\
& \Longleftrightarrow & n_{1}-n_{2}=mq_{2}-mq_{3}\\
& \Longleftrightarrow & n_{1}-n_{2}=m\left(q_{2}-q_{3}\right)\\
& \Longleftrightarrow & n_{1}-n_{2}=mq & \{Tomando\: q=q_{2}-q_{3}\}\\
& \Longleftrightarrow & n_{1}\mathfrak{R}_{1}n_{2}
\end{array}
\)
Con lo que verifico que las tuplas ordenadas de la segunda relación están en la primera:
\( \mathfrak{R}_2\subseteq{\mathfrak{R}_1} \)
Y por la caracterización de la igualdad de conjuntos:
\( \mathfrak{R}_{1}=\mathfrak{R}_{2} \)
Tiene que haber aberraciones por ahí, porque viendo lo que he sacado en el examen... me estoy desesperando un poco.
Saludos.
