[JohanPerez]

Hola, no tengo muchas habilidades para hacer estos ejercicios. Me cuesta un poco ver los dibujos, si alguien me ayuda le estaré enormemente agradecido.

 1. En dos cuadrados concéntricos tales que los lados de uno sean paralelos
a las diagonales de otro, inscribir una elipse al cuadrado exterior y que está
circunscrita al interior.
2. Inscribir un cuadrado a una elipse dada.
3. Inscribir un triángulo de área máxima a una elipse dada, conociendo un
vértice.

[Luis Fuentes]

Hola

1. En dos cuadrados concéntricos tales que los lados de uno sean paralelos
a las diagonales de otro, inscribir una elipse al cuadrado exterior y que está
circunscrita al interior.

Supón que el cuadrado interior tiene centro en el origen y uno de sus vértices en \( (r,r) \).

El otro cuadrado tiene dos vértices en \( (R,0) \) y \( (0,R) \).

La ecuación de la elipse es:

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

Para que el cuadrado pequeño esté inscrito ha de cumplirse que:

\( \dfrac{r^2}{a^2}+\dfrac{r^2}{b^2}=1 \)

es decir:

\( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{r^2} \)  (1)

Para que el cuadrado grande este circunscrito la recta que une \( (0,R) \) con \( (R,0) \) ha de ser tangente a la elipse. Imponiendo esta condición y haciendo cuentas se obtiene:

\( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{R^2}{a^2b^2} \)  (2)

Resolviendo el sistema formado por (1) y (2) se obtiene:

\( a^2=\dfrac{1}{2}(R^2+\sqrt{R^4-4r^2R^2}) \)
\( b^2=\dfrac{1}{2}(R^2-\sqrt{R^4-4r^2R^2}) \) 

Falta convertir esto en un método constructivo.

2. Inscribir un cuadrado a una elipse dada.

Aprovechamos la ecuación (1) de antes y se obtiene que:

\( r=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}} \)

En este caso si es fácil construirlo; se trata de la altura sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los dos semiejes de la elipse.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

3. Inscribir un triángulo de área máxima a una elipse dada, conociendo un
vértice.

Dada una elipse de ecuación:

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

Se transforma por una contracción en el eje en una circunferencia:

\( x\to ax/b \)

La contracción transforma las áreas multiplicándolas por una constante. Finalmente el triángulo de área máxima inscrito en una circunferencia es el equilátero. Puedes utilizar esto para resolver tu problema.

Saludos.

[robinlambada]

Hola:

Spoiler

Hola

1. En dos cuadrados concéntricos tales que los lados de uno sean paralelos
a las diagonales de otro, inscribir una elipse al cuadrado exterior y que está
circunscrita al interior.

Supón que el cuadrado interior tiene centro en el origen y uno de sus vértices en \( (r,r) \).

El otro cuadrado tiene dos vértices en \( (R,0) \) y \( (0,R) \).

La ecuación de la elipse es:

\( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

Para que el cuadrado pequeño esté inscrito ha de cumplirse que:

\( \dfrac{r^2}{a^2}+\dfrac{r^2}{b^2}=1 \)

es decir:

\( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{r^2} \)  (1)

Para que el cuadrado grande este circunscrito la recta que une \( (0,R) \) con \( (R,0) \) ha de ser tangente a la elipse. Imponiendo esta condición y haciendo cuentas se obtiene:

\( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{R^2}{a^2b^2} \)  (2)

Resolviendo el sistema formado por (1) y (2) se obtiene:

\( a^2=\dfrac{1}{2}(R^2+\sqrt{R^4-4r^2R^2}) \)
\( b^2=\dfrac{1}{2}(R^2-\sqrt{R^4-4r^2R^2}) \) 

Falta convertir esto en un método constructivo.

[cerrar]

Se me acaba de ocurrir un método constructivo para el primer caso, los cuadrados y la elipse.

Se supone que me dan los ejes de la elipse. (si sólo me dan está, espero que no sea muy complicado dibujar sus ejes.

supongo la ecuación centrada (simplificada) \( f(x,y)=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1=0 \)

Tiene simetría de reflexión en el eje x e y. \( f(x,y)=f(-x,y)=f(x,-y) \)

Por ello la "forma" de la elipse es igual en cada cuadrante, por la simetría del cuadrado es obvio que cada vértice estará en un cuadrante distinto y por la simetría de la elipse, los cuatro vértices del cuadrado equidistaran del centro de la elipse y sus radio-vectores forman el mismo ángulo mínimo con el eje x ( es decir de los dos que hay tomo el menor ) y el único punto interior al cuadrado que equidista de sus vértices es el centro del cuadrado, por ello el centro del cuadrado y del la elipse coinciden , además para que los ángulos respecto al eje x, se mantengan, sus lados deben ser paralelos a los ejes.

Por ello basta trazar las bisectrices a los ejes coordenados y los puntos de corte con la elipse son los  vértices del cuadrado inscrito.

para construir el cuadrado circunscrito basta darse cuenta, de la siguiente proporcionalidad , implícita en las ec. halladas por el_manco.


\( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{r^2} \)

\( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{R^2}{a^2b^2} \)


\( \dfrac{1}{r^2}=\dfrac{R^2}{a^2b^2}\Leftrightarrow{}\displaystyle\frac{b}{r}=\displaystyle\frac{R}{a} \)

Es decir los tríangulos de vértices \( (b,0),(0,0),(r,0) \) y de vértices \( (R,0),(0,0),(a,0) \) son semejantes. está es la clave para construir el

cuadrado circunscrito y tangente a la elipse.

Solo tengo que trazar una paralela al segmento \( \overline{(0,b)(r,0) }  \),  que pase por el punto \( (a,0) \) el corte con el eje "y" será el vértice del cuadrado circunscrito.

Imagen

Spoiler

[cerrar]

P.D: Supongo que habrá algún razonamiento de geometría sintética que también llegue a la semejanza de triángulos, y por tanto a

\( \displaystyle\frac{b}{r}=\displaystyle\frac{R}{a} \).

Saludos.