[avmath]

Hola, no se como resolver esto, a ver si me podéis echar una mano:

En el conjunto,

\( A=\left\{{n:n=2^a,a\in\mathbb{Z}}\right\} \)

se define la siguiente relación:

\( \forall n_1,n_2,\left(n_1\mathscr{R}n_2 \Longleftrightarrow\,El\,\,cociente\,\,entre\,\,n_1 y\,\,n_2\,\,es\,\,una\,\,potencia\,\,de\,\,8}\right) \)

Intento demostrarlo partiendo de la definición de antisimetría pero no soy capaz de llegar a que ambos elementos son o no iguales para saber si la relación tiene o no antisimetría.

Seguro que es una tontería pero yo no lo veo

Saludos y gracias de antemano.

[Fernando Revilla]

\( \forall n_1,n_2,\left(n_1\mathscr{R}n_2 \Longleftrightarrow\,El\,\,cociente\,\,entre\,\,n_1 y\,\,n_2\,\,es\,\,una\,\,potencia\,\,de\,\,8}\right) \)

Debería especificar. Si la potencia de \( 8 \) es natural, la relación es antisimétrica:

          \( $$\left \{ \begin{matrix}  2^aR2^b\\2^bR2^a\end{matrix}\right.\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \dfrac{2^a}{2^b}=2^{3c}\\ \dfrac{2^b}{2^a}=2^{3c'}\end{matrix}\right.\Rightarrow \dfrac{2^a}{2^b}\cdot  \dfrac{2^b}{2^a}=2^{3c}2^{3c'}\Rightarrow 1=2^{3(c+c')}$$  \)

          \( $$\Rightarrow c+c'=0\underbrace{\Rightarrow}_{c,c'\in \mathbb{N}} c=c'=0\Rightarrow \dfrac{2^a}{2^b}=1\Rightarrow 2^{a}=2^{b}.$$  \)

Si la potencia de \( 8 \) puede ser entera, la relación no es antisimétrica, basta elegir \( n_1=2^3,\;n_2=2^0. \)

[avmath]

Muchísimas gracias Fernando, andaba agobiado porque no sabía resolverlo. Pues no sé cómo es la potencia de 8 en este problema, lo que sé es que tal y como lo he puesto en el enunciado cayó en un examen 

Un saludo.

[Fernando Revilla]

Muchísimas gracias Fernando, andaba agobiado porque no sabía resolverlo. Pues no sé cómo es la potencia de 8 en este problema, lo que sé es que tal y como lo he puesto en el enunciado cayó en un examen 

Bien, pero que conste que con esa redacción se puede interpretar de dos maneras esencialmente distintas.