Hola
pero creo que si la aplicación es sobreyectiva en una bola, es sobreyectiva en el dominio, y su gráfica sería RxN que es cerrado en RxN por ser el espacio total.
No. La gráfica de cualquier función \( T:R\longrightarrow{}N \) (sea o no como la describo) nunca puede ser todo \( R\times N \). La gráfica es:
\( G=\{(x,T(x))\in R\times N \mid x\in R\} \)
Luego para cada valor de \( x\in R \) hay un único punto en la gráfica con primera coordenada \( x \). Por tanto \( G\neq R\times N. \)
Ahora supón que tienes una aplicación que como te he dicho es sobreyectiva en cada abierto. En primer lugar cumple que \( T(F) \) es cerrado en \( N \) para cada \( F \) cerrado en \( R \), simplemente porque en \( N \) tenemos la métrica discreta y todo conjunto es abierto y cerrado.
Ahora veamos que la gráfica no es cerrada. Si así fuera su complementario debería de ser abierto. Es decir dado \( (x,y)\in R^2 \) con \( y\neq T(x) \) debería de existir un abierto básico \( U \) de la topología producto tal que \( (x,y)\in U \) y \( U\cap G=\emptyset \).
Pero un tal abierto básico es de la forma \( U=V\times \{y\} \) con \( V \) abierto de \( R \) que contiene a \( x \). Ahora como la función \( T \) cumple que es sobreyectiva en cada abierto, lo es en \( V \) y existe \( x'\in V \) tal que \( T(x')=y \). Por tanto (\( x',y)\in U\cap G \) lo cuál contradice que \( U\cap G=\emptyset \).
Para construir una aplicación en las condiciones que te indico, puedes considerar los conjuntos:
\( A_n=\{q+e^n|q\in Q\} \) para cada \( n\in N \)
Comprueba que todos ellos son densos en \( R \) y además son disjuntos entre si (en otro caso \( e \) no sería trascendente).
Define:
\( T(x)=n \) si \( x\in A_n \)
\( T(x)=1 \) en otro caso
Dado cualquier abierto \( V \) de \( R \) corta a todos los \( A_n \) (ya que son conjuntos densos en los reales) y por tanto para cada \( n\in N \) existe \( x\in V \) tal que \( T(x)=n \). Es decir \( T \) es sobreyectiva en \( V \).
Saludos.
