Bienvenido al foro Scofield.
Por Taylor tenemos:
\( {\red Editado 2} \) un error en el desarrollo solucionado.
\( \displaystyle 1: u(x+h) - u(x) = u'(x) \cdot h + u''(x) \cdot \frac{h^2}{2} + u'''(x) \cdot \frac{h^3}{6} + u^4(\sigma) \frac{h^4}{4!} \)
\( \displaystyle 2: u(x-h) - u(x) = u'(x) \cdot (-h) + u''(x) \cdot \frac{h^2}{2} + u'''(x) \cdot \frac{-h^3}{6}+ u^4(\nu) \frac{h^4}{4!} \)
Sumo 1 y 2 y queda:
\( \displaystyle u(x+h) - 2 \cdot u(x) + u(x-h) = u''(x) \cdot h^2 + \frac{h^4}{4!} \cdot (u^4(\sigma) + u^4(\nu)) \)
Tenemos que como \( u \) es \( C^4 \) tenemos que \( u^4(s) \) es continua entonces acotada en \( [x-h,x+h] \).
Entonces nos queda:
\( \displaystyle \frac{u(x+h) - 2 \cdot u(x) + u(x-h)}{h^2} = u''(x) + \frac{h^2}{4!} \cdot (u^4(\sigma) + u^4(\nu)) \)
Sea \( t_0 \) el valor que hace máxima la función \( u^4 \) en \( [x-h,x+h] \).
Sea \( t_1 \) el valor que hace mínima la función \( u^4 \) en \( [x-h,x+h] \).
Tenemos \( \displaystyle u^4(t_1) \leq \frac{u^4(\sigma) + u^4(\nu)}{2} \leq u^4(t_0) \) entonces existe un \( \omega \in [x-h,x+h] \) verificando:
\( u^4(\omega) = \frac{u^4(\sigma) + u^4(\nu)}{2} \).
En consecuencia:
\( 2 \cdot u^4(\omega) = u^4(\sigma) + u^4(\nu) \).
\( \displaystyle \frac{u(x+h) - 2 \cdot u(x) + u(x-h)}{h^2} = u''(x) + \frac{h^2}{12} \cdot u^4(\omega) \)
